PUERTA | PUERTA-CS-2000 | Pregunta 25

E1 y E2 son eventos en un espacio de probabilidad que satisfacen las siguientes restricciones:

 
    Pr(E1) = Pr(E2)
    Pr(EI U E2) = 1
    E1 and E2 are independent 

El valor de Pr(E1), la probabilidad del evento E1 es

(A) 0
(B) 1/4
(C) 1/2
(D) 1

Respuesta: (D)
Explicación:

Restricciones dadas:

1. Pr(E1) = Pr(E2)

2. Pr( E1 U E2) = 1

3. E1 y E2 son independientes

Como la conocemos:

Pr(E1 U E2) = Pr(E1) + Pr(E2) – Pr(E1 ∩ E2)

Como E1 y E2 son eventos independientes. (cond.3)

Entonces Pr(E1 ∩ E2) = Pr(E1) Pr(E2)

Pr(E1) = Pr(E2) (cond.2)

Sea probabilidad del evento E1 = x = probabilidad de E2

Asi que,

Pr(E1 U E2) = Pr(E1) + Pr(E2) – Pr(E1) Pr(E2)

1 = x + x -x* x (cond. 1)
1=2x-x^2
x^2-2x+1 = 0
(x-1)^2 = 0
x = 1

Entonces, Pr(E1) = Pr(E2) = 1

Por lo tanto, la opción (D) es la respuesta.

Referencia:
https://people.richland.edu/james/lecture/m170/ch05-rul.html

Esta solución es aportada por Nitika Bansal.

Otra solución:
E1 y E2 son eventos independientes.
Pr(E1 U E2) = Pr(E1) + Pr(E2) – Pr(E1) Pr(E2)

Pr(E1) = Pr(E2) (dado)

Entonces,
2 * Pr(E1) – Pr(E1) ² = Pr( E1 U E2)
2 * Pr(E1) – Pr(E1) ² = 1

Entonces, Pr(E1) = Pr(E2) = 1

Por lo tanto, la opción (D) es la respuesta.
Cuestionario de esta pregunta