PUERTA | PUERTA-CS-2003 | Pregunta 33

Considere la siguiente fórmula a y sus dos interpretaciones I1 e I2 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? (A) I1 satisface α, I2 no (B) I2 satisface α, I1 no (C) Ni I2 ni I2 satisfacen α (D) Tanto I1 como I2 satisfacen α Respuesta: (D) Explicación:

En primer lugar, tenga en cuenta que, en α, ¬Qyy siempre es falso, porque todo número se divide a sí mismo. Tampoco es que la fórmula más a la derecha (∀x)[¬Px] sea siempre falsa, porque claramente no es el caso de que todo número no sea el número primo (en el caso de I1), ni es el caso de que todo número no sea el número primo. número compuesto (en el caso de I2). También tenga en cuenta que la variable x en esta expresión no es lo mismo que la variable x en la expresión del lado izquierdo, son independientes. De hecho, podemos reescribir α como α:(∀x)[Px⇔(∀y)[Qxy⇔¬Qyy]]⇒(∀z)[¬Pz].
Consideremos primero I1. Así que asignemos algún valor a x, y veamos si satisface α. Podemos dividir las asignaciones de x en 3 partes: cuando x es primo, cuando x es compuesto, cuando x es 1.

• Cuando x es primo: Px es verdadero, también Qxy es falso para todo y excepto 1, porque solo 1 divide a x. Entonces, la fórmula Qxy⇔¬Qyy es verdadera para todo y excepto 1, pero debido a ∀y fuera de esto, toda la fórmula ∀y[Qxy⇔¬Qyy] se vuelve falsa, porque hubiera sido verdadera si Qxy⇔¬Qyy fuera verdadera para todo y.
  Entonces ahora [Px⇔(∀y)[Qxy⇔¬Qyy]] se vuelve falso para todo x siempre que x sea primo.
  Dado que para algún x (donde x es primo), [Px⇔(∀y)[Qxy⇔¬Qyy]] es falso, entonces (∀x)[Px⇔(∀y)[Qxy⇔¬Qyy]] es definitivamente falso , dado que falso ⇒ falso es verdadero, entonces α es verdadero en I1, y no necesitamos otros casos de x.
• Ahora considere I2. Aquí también podemos argumentar de la misma manera que lo hicimos en los casos de I1, aquí el caso de que x sea compuesto conduce a falso⇒falso, por lo que α también es verdadero en I2, por lo que la opción (D) es correcta .

Fuente: http://www.cse.iitd.ernet.in/~mittal/gate/gate_math_2003.html
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