Suma y Resta de Expresiones Racionales

Las expresiones fraccionarias que tienen un polinomio en el numerador o en el denominador se llaman expresiones racionales. La palabra «racional» se refiere a «fracción». Las fracciones son números que se representan en forma de “p/q” y q ≠ 0, donde la parte superior de la fracción, “p”, es el numerador, y la parte inferior de la fracción, “q”, es el denominador. Por lo tanto, todas las expresiones racionales deben ser fracciones. Las expresiones racionales también se conocen como polinomios racionales. Algunos ejemplos de expresiones racionales son 2/x, (xy/3x), (a+3b/2a-b), etc. Podemos realizar varias operaciones en expresiones racionales como fracciones. Entonces, para sumar y restar expresiones racionales, usamos las mismas reglas para sumar y restar fracciones que para sumar y restar solo números. En este artículo, aprenderemos a sumar y restar números racionales.expresiones

¿Cómo sumar y restar expresiones racionales?

Para sumar y restar expresiones racionales, sigue los siguientes pasos:

1. Factoriza el denominador.
2. Encuentra el mínimo común múltiplo del denominador y vuelve a escribir cada fracción con el común denominador.
3. Ahora, suma o resta los numeradores de las dos expresiones racionales.
4. Si es posible, vuelve a factorizar.
5. Escribe la respuesta final en su forma simplificada.

Analicemos un ejemplo, para entender mejor el concepto.

Ejemplo: Resuelve: (6a+5b)/9a + (4a−3b)/9a.

Solución:

Expresión dada: (6a+5b)/9a + (4a−3b)/9a.

Paso 1: Verifiquemos si existe la posibilidad de factorización del denominador. Cuando ambos términos en una expresión se pueden dividir por el mismo número o una variable, podemos realizar la factorización. Aquí, el problema no requiere ninguna factorización.

Paso 2: Antes de proceder con la suma de ambas fracciones, deben tener un denominador común, lo que significa que los denominadores de ambas fracciones deben ser iguales. Aquí, ambos denominadores son iguales, lo que implica que ambas fracciones tienen un denominador común. Por lo tanto, no es necesario realizar cambios en el problema en este paso.

Paso 3: Como tenemos un denominador común, podemos pasar al siguiente paso, es decir, combinar los numeradores y colocar la combinación sobre el denominador común. Asegúrese de que la segunda expresión esté siempre entre paréntesis.

(6a+5b)/9a + (4a−3b)/9a = [(6a+5b)+(4a−3b)]/9a

Dado que la operación para este problema es la suma, suma los términos semejantes de ambos numeradores. Los términos semejantes son (6a, 4a) y (5b, -3b).

[(6a+5b)+(4a−3b)]/9a = (10a+2b)/9a = 2(5a+b)/9a

Paso 4: Ahora, el siguiente paso es determinar si es posible alguna factorización. Como aprendimos anteriormente, podemos realizar la factorización cuando ambos términos en una expresión se pueden dividir por el mismo número o una variable. Aquí, el resultado obtenido no requiere ninguna factorización adicional. Por lo tanto, la respuesta final es,

(6a+5b)/9a + (4a−3b)/9a = 2(5a+b)/9a

Problemas de Suma y Resta de Expresión Racional

Problema 1: resuelve 5/(3y+4) +(y−6)/(3y + 4). 

Solución: 

Expresión dada: 5/(3y+4) +(y−6)/(3y + 4)

Podemos observar que ambas fracciones tienen un denominador común.

5/(3y+4) +(y−6)/(3y + 4) = {5 + (y – 6)}/(3y + 4)

= (y – 1)/(3y + 4)

Así, 5/(3y+4) +(y−6)/(3y + 4) = (y – 1)/(3y + 4).

Problema 2: resuelve (2x+7)/(x+5) − (6x−1)/(x−2).

Solución: 

Expresión dada: (2x+7)/(x+5) − (6x−1)/(x−2).

Podemos observar que ambas fracciones no tienen un denominador común.

Entonces, encuentre el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir, (x+5) y (x−2): (x+5)(x−2)

Ahora, (2x+7)/(x+5) − (6x − 1)/(x-2)

= [(2x+7)(x−2)/(x+5)(x−2)] − [(6x−1)(x+5)/(x+5)(x−2)]

= [(2x ² −4x+7x−14)/(x+5)(x−2)] − [(6x ² +30x−x−5)/(x+5)(x−2)]

= [(2x ² +3x-14)/(x+5)(x−2)] − [(6x ² +29x−5)/(x+5)(x−2)] 

= [(2x ² +3x-14) − (6x ² +29x−5)]/(x+5)(x−2)

= (−4x ² −26x−9)/(x+5)(x−2)

= −(4x ² +26x+9)/(x+5)(x−2)

Por lo tanto, (2x+7)/(x+5) − (6x−1)/(x−2) = −(4x ² +26x+9)/(x+5)(x−2).

Problema 3: resuelve 4x/(7x−2) + (19−2x)/(7x−2).

Solución:

Expresión dada: 4x/(7x−2) + (19−2x)/(7x−2).

Podemos observar que ambas fracciones tienen un denominador común.

4x/(7x−2) + (19 – 2x)/(7x−2) = (4x + 19−2x)/(7x−2)

= (2x+19)/(7x−2)

Por lo tanto, 4x/(7x−2) + (19−2x)/(7x−2) = (2x+19)/(7x−2).

Problema 4: resuelve 8/(x−3) − 4x/(x ² −9).

Solución:

Expresión dada: 8/(x−3) − 4x/(x ² −9).

Podemos observar que ambas fracciones no tienen un denominador común.

(x ² −9) = (x−3)(x+3)    {Ya que, a ² − b ² = (a−b)(a + b)}

Entonces, encuentre el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir, (x−3) y (x−3)(x+3): (x−3)(x+3)

8/(x−3)−4x/(x ² −9) = [8(x+3)/(x−3)(x+3)] − [4x/(x−3)(x+3) ]

= [8x+24/(x ² −9)] − [4x/(x ² −9)]

= (8x+24−4x)/( ^x2−9 )

= (4x+24)/(x2 ⁻⁹ )

= 4(x+6)/(x2 ⁻⁹ )

Por lo tanto, (8/x−3)−(4x/x ² −9) = 4(x+6)/(x ² −9).

Problema 5: Resuelve (6u−v/7u) + (3u+5v/8v).

Solución:

Expresión dada: (6u−v/7u) + (3u+5v/8v).

Podemos observar que ambas fracciones no tienen un denominador común.

Entonces, encuentre el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir, 7u y 8v: 56uv.

(6u−v/7u) + (3u+5v/8v) = [(6u−v)(8v)/(7u)(8v)] − [(3u+5v)(7u)/(8v)(7u) ]

= [(48uv−8v ² )/56uv] − [(21u2 ⁺ 35uv)/56uv]

= [(48uv−8v ² )−(21u ² +35uv)/56uv]

= (−8v2+13uv−21u ² )/56uv

= −(21u ² −13uv+8v ² )/56uv

Por lo tanto, (6u−v/7u) + (3u+5v/8v) = −(21u ² −13uv+8v ² )/56uv.