¿Cómo multiplicar y dividir exponentes?

Los exponentes y las potencias se utilizan para simplificar la representación de números muy grandes o muy pequeños. La potencia es un número o expresión que representa la multiplicación repetida del mismo número o factor. El valor del exponente es el número de veces que la base se multiplica por sí misma.

Ejemplo para exponentes, si necesitamos expresar 3 × 3 × 3 × 3 × 3 de una manera sencilla, podemos escribirlo como 3 5 ^, donde 3 es la base y 5 es el exponente. Se considera que toda la expresión 3 ⁵ representa poder. Ejemplo de potencias: 5 ³ = 5 elevado a la potencia 3 = 5 × 5 × 5 = 125, 6 ⁴ = 6 elevado a la potencia 4 = 6 × 6 × 6 × 6 = 1296. El exponente de un número representa el número de veces que el número se ha multiplicado por sí mismo. 3 se multiplica por sí mismo por n veces, 3 × 3 × 3 × 3 × …n veces = 3 ⁿ . 3 ⁿ es una abreviatura de 3 elevado a la potencia de n. Como resultado, los exponentes a veces se conocen como potencia o, en ciertos casos, índices.

Forma general de exponentes 

El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar un número por sí mismo para obtener los resultados deseados. En consecuencia, cualquier número ‘b’ elevado a la potencia ‘p’ puede expresarse como:

b ^p = {b × b × b × b × … × b} p veces

Aquí b es cualquier número y p es un número natural.

• Aquí, b ^p también se llama la p- ^ésima potencia de b.
• ‘b’ representa la base y ‘p’ es el exponente o potencia.
• Aquí, ‘b’ se multiplica por ‘p’ y, por lo tanto, la exponenciación es el método simplificado de multiplicación repetida.

Algunas reglas básicas de Exponentes 

1. Regla del producto ⇢ a ⁿ × a ^m = a ^{n + m}
2. Regla del cociente ⇢ a ⁿ / a ^m = a ^{n – m}
3. Regla de potencia ⇢ (a ⁿ ) ^m = a ^{n × m} o ^m √a ⁿ = a ^n/m
4. Regla del exponente negativo ⇢ a ^-m = 1/a ^m
5. Regla cero ⇢ a ⁰ = 1
6. Una regla ⇢ a ¹ = a

¿Cómo multiplicar y dividir exponentes?

Solución: 

Los exponentes y las potencias se utilizan para simplificar la representación de números muy grandes o muy pequeños.

Para dividir exponentes

Las leyes de los exponentes simplifican el proceso de simplificación de expresiones. Al dividir exponentes con la misma base, la regla básica es restar las potencias dadas. Esto también se conoce como Ley de división o Propiedad del cociente exponencial.

metro ^{norte ₁} ÷ metro ^{norte ₂} = metro ^{norte ₁} / metro ^{norte ₂} = metro ^{(norte ₁ – norte ₂ )}

Primer Caso: División de Exponentes con la Misma Base 

Utilizamos la regla básica de restar las potencias para dividir exponentes con la misma base. Considere la expresión m ^{n ₁} ÷ m ^{n ₂} , donde ‘m’ es la base común y los exponentes ‘n ₁ ‘ y ‘n ₂ ‘ son los exponentes. Según la ‘propiedad del cociente de los exponentes’,

metro ^{norte ₁} ÷ metro ^{norte ₂} = metro ^{norte ₁} / metro ^{norte ₂} = metro ^{(norte ₁ – norte ₂ )}  

Ejemplo: Divide 3 ⁵ ÷ 3 ³ 

Aquí como podemos ver las bases son iguales pero de diferente potencia.

Así que la ley de división o ley del Cociente: m ^{n ₁} ÷ m ^{n ₂}   = m ^{n ₁} / m ^{n ₂} = m ^{(n ₁ – n ₂ )}  

Aquí, 3 ⁵ ÷ 3 ³

= 3 ⁵ /3 ³

= 3 ^(5-3)

= 3 ²   

Segundo Caso: División de Exponentes con diferentes Bases 

Aplicamos la ‘propiedad de la potencia del cociente’ para dividir exponentes con diferentes bases y el mismo exponente, que es

(m/n) ^pags = metro ^pags /n ^pags  

Considere las fórmulas m ^p ÷ n ^p , que tiene bases distintas pero el mismo exponente.

Ejemplo: Divide: 15 ³ ÷ 3 ³ .

Esto se puede resolver usando la ‘propiedad de la potencia del cociente’ como,

(m/n) ^pags = metro ^pags /n ^pags .

= 15 ³ ÷ 3 ³

= (15 / 3) ³

= 5 ³ .    

Para multiplicar exponentes 

Primer Caso: Cuando Multiplica exponentes con la misma Base 

Según esta regla: El producto de dos exponentes con la misma base pero distintas potencias es igual a la base elevada a la suma de las dos potencias o números enteros; esto también se conoce como la Ley de Multiplicación de Exponentes. Al multiplicar dos expresiones con la misma base, podemos usar, 

metro ^{norte ₁} × metro ^{norte ₂} = metro ^{(norte ₁ + norte ₂ )}  

Donde m es la base común y n ₁ y n ₂ son los exponentes.

Por ejemplo, multiplique 3 ³ × 3 ⁶ ?

Dado: 3 ³ × 3 ⁶ 

Aquí las bases son las mismas. Entonces usaremos: m ^{n ₁} × m ^{n ₂} = m ^{(n ₁ + n ₂ )}  

Por lo tanto, = 3 ⁽³⁺⁶⁾

= 3 ⁹ 

Segundo Caso: Cuando Multiplica Exponentes con bases diferentes

Cuando hay diferente base con los mismos exponentes, usaremos la fórmula: 

metro ^pags × norte ^pags = (m × norte) ^pags . 

Aquí m y n son las diferentes bases y p es el exponente.

Ejemplo: Multiplica 2 ³ × 4 ³

Dado: 2 ³ × 4 ³ 

Aquí, usaremos: m ^p × n ^p = (m × n) ^p

= (2 × 4) ³

= 8 ³               

De esta manera en diferentes casos podemos dividir y multiplicar Exponentes.

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1: simplificar o dividir 25 ⁴ /5 ⁴  

Solución: 

Aquí las bases son diferentes con el mismo Exponente,

Usaremos la fórmula, (m/n) ^p = m ^p /n ^p  

Por lo tanto, = 25 ⁴ /5 ⁴

= (25/5) ⁴

= 5 ⁴

= 625

Pregunta 2: Encuentra el valor de la expresión, 15 ⁸ × 15 ³

Solución:

Dado: 15 ⁸ × 15 ³

Al multiplicar dos expresiones con la misma base pero diferente exponente, 

fórmula m ^{n ₁} xm ^{n ₂} = m ^{(n ₁ + n ₂ ) , donde m es la base común y n} ₁ y n ₂ son los exponentes.

Al aplicar esta regla, 

obtenemos, = 15 ⁸  × 15 ³

= 15 ^{(8 + 3)}

= 15 ¹¹

Pregunta 3: ¿Cuál es el producto de (2x ³ y ⁵ ) y (3x ⁴ y ² )?

Solución:

El producto de (2x ³ y ⁵ ) y (3x ⁴ y ² )

= (2x ³ y ⁵ ) × (3x ⁴ y ² )

= (2 × 3) × x ³ x ⁴ × y ⁵ y ²                    

Al multiplicar dos expresiones con la misma base, podemos usar la fórmula m ^{n ₁} × m ^{n ₂} = m ^{(n ₁ + n ₂ )} _{, donde m es la base común y n 1} y n ₂ son los exponentes.

= 6x ³⁺⁴ × y ⁵⁺²

= 6x ⁷ y ⁷ 

Pregunta 4: ¿Cuánto es x ³ dividido por x ² ?

Solución:

Aquí dado: x ³ dividido por x ² 

aquí las bases son iguales pero los exponentes son diferentes,

Así que usamos la ley de división o ley del Cociente: m ^{n ₁} ÷ m ^{n ₂}   = m ^{n ₁} / m ^{n ₂} = m ^{(n ₁ – n ₂ )}  

Entonces escríbelo como x ³ /x ²

= x ^{3 – 2}

= ^x1

= x

Pregunta 5: Evalúa a ³ × a ⁵ × a ^-6 

Solución:

Dado que: a ³ × a ⁵ × a ^-6 

Aquí las bases son iguales pero los exponentes son diferentes, usando la regla del producto o la ley de la multiplicación.

metro ^{norte ₁} × metro ^{norte ₂} = metro ^{(norte ₁ + norte ₂ )}

= un ³ × un ⁵ × un ^-6

= un ^{(3 +5)} × un ^-6

= un ⁸ × un ^-6

= a{8+ (-6)} {Usar por regla de producto}

= un ^8-6

= un ² 

Pregunta 6: Divide 10 ⁵ /5 ⁵

Solución:

Aquí las bases son diferentes con el mismo exponente,

Usaremos la fórmula: (m/n) ^p = m ^p /n ^p  

Por lo tanto, = 10 ⁵ /5 ⁵

= (10/5) ⁵

= 5 ⁵

= 3125