Fórmulas de ángulos múltiples

La trigonometría es uno de los temas importantes en matemáticas que se utiliza en varios campos. Las fórmulas trigonométricas se aplican y utilizan en varias fórmulas, derivaciones, etc. Este artículo trata sobre las fórmulas de ángulos múltiples en trigonometría donde encontramos seno, coseno y tangente para ángulos múltiples. Esta fórmula puede evaluar fácilmente los ángulos múltiples para cualquier problema dado. Las funciones trigonométricas con ángulos múltiples se llaman fórmulas de ángulos múltiples. Los ángulos doble, medio y triple están presentes bajo múltiples ángulos.

Fórmulas de ángulos múltiples 

Cuando las funciones trigonométricas con múltiples ángulos se denominan fórmula de múltiples ángulos. Las fórmulas de ángulos dobles, triples y medios están bajo fórmulas de ángulos múltiples.

• Fórmulas de medio ángulo: Consisten en el medio ángulo de funciones trigonométricas. 
• Fórmulas de doble ángulo: Consisten en el doble ángulo de funciones trigonométricas.
• Fórmulas del triple ángulo: consisten en el triple ángulo de las funciones trigonométricas.

Lista de fórmulas de ángulos múltiples 

• Fórmulas de medio ángulo:
  • sen x = 2 sen(x/2)cos(x/2) = (2 tan (x/2))/(1 + tan ² (x/2))
  • cos x = cos ² (x/2) – sen ² (x/2) = 2 ^{cos 2} (x/2) – 1 = 1 – 2 sen ² (x/2) = (1 – tan ² (x/2)) /(1 + tan ² (x/2))
  • bronceado x = (2 bronceado(x/2))/(1 – bronceado ² (x/2))
  • sen(x/2) = √((1 – cos x)/2)
  • cos(x/2) = √((1 + cos x)/2)
  • tan(x/2) = √((1 – cos x)/(1 + cos x))
• Fórmulas de doble ángulo:
  • sen 2x = 2 sen x cos x = (2 tan x)/(1 + tan ² x) 
  • cos 2x = cos ² x – sen ² x = 2 ^{cos 2} x – 1 = 1 – 2 sen ² x = (1 – tan ² x)/(1 + tan ² x)
  • tan 2x = (2 tan x)/(1 – tan ² x) 
• Fórmulas del triple ángulo:
  • sen 3x = 3 sen x – 4 sen ³ x
  • cos 3x = 4 cos ³ x – 3 cos x
  • bronceado 3x = (3 bronceado x – bronceado ³ x)/(1 – 3 bronceado ² x)

Fórmulas generalizadas de ángulos múltiples

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Problemas de muestra

Problema 1: Evalúa lo siguiente en términos de tan: (i) sen 8x y (ii) cos 6x.

Solución :

(i) sen 8x = sen (2(4x)) [Ya que, sen 2x = 2tan x /(1 + tan ² x)]

= (2tan 4x)/(1+tan ² (4x))

(ii) cos 6x = cos(2(3x)) [Ya que, cos 2x = (1 – tan ² x)/(1 + tan ² x)]

= (1 – tan ² 3x)/(1 + tan ² 3x)

Problema 2: Evalúa lo siguiente en términos de su semiángulo: (i) sen 6x, (ii) cos 8x y (iii) tan 12x.

Solución:

(i) sen 6x = 2 sen 3x cos 3x [Usando fórmulas de medio ángulo]

O   

= 2tan 3x /(1 + tan ² 3x)

(ii) cos 8x = cos ² 4x – sen ² 4x [Usando fórmulas de medio ángulo]

O

cos 8x = 1 – 2sen ² 4x

O

cos 8x = 2 cos ² 4x -1

O

cos 8x = (1 – tan ² 4x)/(1 + tan ² 4x)

(iii) tan 12x = (2 tan 6x) / (1 + tan ² 6x)

Problema 3: Encuentra cos 4x en términos de cos x.

Solución: 

cos 4x = cos (2(2x))

= 2 cos ² 2x – 1

= 2×(2 cos ² x – 1) ² – 1

= 2×(4cos ⁴ x + 1 – 4cos ² x) – 1

= 8 cos ⁴ x + 2 – 8 cos ² x – 1

= 8 cos ⁴ x – 8 cos ² x + 1

Problema 4: Si sen 2x = 4/5, encuentre el valor de tan x.

Solución: 

sen 2x = 4/5

cos 2x = √1 – sen ² 2x = √1 – (4/5) ² = √1 – 16/25 = √9/25 = 3/5

Como, tan x = √(1 – cos 2x)/(1 + cos 2x)

tan x = √(1 – (3/5))/(1 + (3/5))

tan x = √(2/5)/(8/5)

tan x = √1/4 = 1/2

Problema 5: Si cot x = p, encuentre el valor de sec 2x – tan 2x en términos de p.

Solución: 

seg 2x – tan 2x = (1/cos 2x) – (sen 2x/cos 2x)

= (1 – sen 2x)/cos 2x [Usando fórmulas de doble ángulo y sen ² x + cos ² x = 1]

= (sen ² x + cos ² x – 2sen x cos x)/ (cos ² x – sen ² x)

= (cos x – sen x) ² /(cos x – sen x)(cos x + sen x)

= (cos x – sen x) /(cos x + sen x)     

Dividiendo numerador y denominador por sen x

seg 2x – tan 2x = (cot x – 1)/(cot x + 1)

seg 2x – tan 2x = (p – 1)/(p + 1)

Problema 6: Encuentra el valor de 12 sen 10° – 16 sen ³ 10°.

Solución:

12 sen 10° -16 sen ³ 10° = 4 [3 sen 10° – 4 sen ³ 10°]

= 4[sen 3× 10°] [Puesto que, sen 3A = 3sen A – 4sen ³ A]

= 4 sen 30°

= 4 × (1/2)

= 2

Problema 7: Demostrar que – (cot A + cosec A) ² + 1 = cosec ² (A/2).

Solución: 

LHS = (cot A + cosec A) ² + 1 

= {(cos A /sen A) + (1/sen A)} ² + 1

= [(1 + cos A)/ sen A] ² + 1

= [2 cos ² (A/2)/ 2 sen(A/2) cos(A/2)] ² + 1

= [cos(A/2) / sen(A/2)] ² +1

= cuna ² (A/2) + 1

= coseg ² (A/2)