¿Cómo usar la regla del cociente?

julio 5, 2022 Rudeus Greyrat

La regla del cociente es una regla importante en el concepto de derivadas. Para encontrar las derivadas de fracciones complejas se usa esta regla del cociente. Este artículo trata sobre la regla del cociente en derivadas y cómo se aplica y usa. La regla del cociente ayuda a encontrar la derivada de fracciones complejas muy fácilmente. Se utiliza para encontrar la derivada cuando el problema se presenta en forma de fracción, es decir, en forma de numerador y denominador.

¿Qué es la regla del cociente?

La regla del cociente es la regla para encontrar la derivada de las funciones que está en forma de fracción de dos funciones diferenciables.

La regla del cociente establece que la derivada del cociente es igual a la razón de la resta de la función del denominador multiplicada por la derivada de la función del numerador y la función del numerador multiplicada por la derivada de la función del denominador al cuadrado del denominador.

La regla del cociente se aplica cuando tenemos que hallar la derivada de una función de la forma primera función dividida por la segunda función, lo que dice que la derivada del cociente es igual a la resta de la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función y primera función multiplicada por la derivada de la segunda función dividida por el cuadrado de la segunda función.

¿Cómo usar la regla del cociente?

La fórmula de la regla del cociente se puede usar de las siguientes maneras diferentes,

$\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{1^{\text{st}}\,\text{función}}{2^{\text{nd}}\,\text{función}}\ derecha] = \dfrac{2^{\text{nd}} \text{función}.\dfrac{d}{dx}[1^{\text{st}}\,\text{función}] - 1^ {\text{st}}\,\text{función}.\dfrac{d}{dx}[2^{\text{nd}} \text{función}] }{[2^{\text{nd} }\, \text{función}]^2}$

o

$\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right] = \dfrac{g(x).f'(x) - f(x).g' (x)}{[g(x)]^2}$

o

$\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{u}{v}\right] = \dfrac{vu' - uv'}{v^2}$

donde, u y v son funciones de x.

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1: Encuentra $\dfrac{d}{dx}\izquierda[\dfrac{3x^2+ 6x+2}{x+2}\derecha]$ .

Responder:

$\dfrac{d}{dx}[\dfrac{3x^2+ 6x+2}{x+2}] = \dfrac{(x+2)\dfrac{d}{dx}(3x^2+6x+ 2)-(3x^2+6x+2)\dfrac{d}{dx}(x+2)}{(x+2)^2}$

= [(x + 2)(6x+6) – (3x ² +6x+2)(1)]/(x + 2) ²

= [(6x ² +6x+12x+12) – (3x ² +6x+2)]/(x + 2) ²

= (3x ² +12x+10)/(x + 2) ²

Pregunta 2: Encuentra $\dfrac{d}{dx}[\dfrac{sen x}{x^2}]$

Responder:

$\dfrac{d}{dx}[\dfrac{sin x}{x^2}] = \dfrac{x^2.\dfrac{d}{dx}[sin x] - sin x.\dfrac{d}{dx}[x^2] }{[x^2]^2}$

= (x ² cosx – 2xsenx)/x ⁴

= x.(xcosx – 2senx)/x ⁴

= (xcosx – 2senx)/x ³

Pregunta 3: Encuentra $\dfrac{d}{dx}[\dfrac{cos(x^2) }{x}]$

Responder:

$\dfrac{d}{dx}[\dfrac{cos (x^2)}{x}] = \dfrac{x.\dfrac{d}{dx}[cos(x^2 )] - cos(x^2) .\dfrac{d}{dx}[x] }{(x)^2}$

= [-2x ² sen(x ² ) – cos(x ² )]/x ²

Pregunta 4: Encuentra $\dfrac{d}{dx}[\dfrac{2x}{5x^2+x+7}]$

Responder:

$\dfrac{d}{dx}[\dfrac{2x}{5x^2+x+7}] = \dfrac{(5x^2+x+7).\dfrac{d}{dx}(2x)-(2x).\dfrac{d}{dx}(5x^2+x+7)}{[5x^2+x+7]^2}$

= [(5x ² +x+7)(2) – (2x)(10x+1)]/(5x ² +x+7) ²

= [(10x ² +2x+14)-(20x ² +2x)]/(5x ² +x+7) ²

= [14-10x ² )]/(5x ² +x+7) ²

Pregunta 5: Encuentra la derivada de y = (e ^x + log x)/sin3x

Responder:

Por la regla del cociente,

$\dfrac{d}{dx}[\dfrac{e^x + log x}{sin3x}] = \dfrac{sin3x.\dfrac{d}{dx}[e^x + log x]-(e^x + log x).\dfrac{d}{dx}[sin3x]}{(sin3x)^2}$

= [sen3x . {e ^x + (1/x)} – (e ^x + log x)(3cos3x)]/sen ² 3x

= [{e ^x + (1/x)}.sen3x – 3(e ^x + log x)cos3x ]/sen ² 3x

Pregunta 6: Encuentra la derivada de y = (e ^x + e ^-x )/ (e ^x – e ^-x ).

Responder:

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx}[\dfrac{(e^x + e^{-x}) }{(e^x - e^{-x})}]$

= $\dfrac{d}{dx}[\dfrac{(e^x - e^{-x}).\dfrac{d}{dx}(e^x + e^{-x})-(e^x + e^{-x}).\dfrac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) }{(e^x - e^{-x})^2}]$

= [(e ^x – e ^-x )(e ^x – e ^-x ) – (e ^x + e ^-x )(e ^x + e ^-x )]/(e ^x – e ^-x ) ²

= [(e ^x – e ^-x ) ² – (e ^x + e ^-x ) ² ]/(e ^x – e ^-x ) ²

= 4/(e ^x – e ^-x ) ²

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por aayushi2402 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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