Fórmula de Vieta

El álgebra es uno de los temas básicos de las matemáticas. Los polinomios son una parte esencial del álgebra. La fórmula de Vieta se usa en polinomios. Este artículo trata sobre la fórmula de Vieta que relaciona la suma y el producto de raíces con el coeficiente del polinomio. Esta fórmula se usa específicamente en álgebra.

Fórmula de Vieta 

Las fórmulas de Vieta son aquellas fórmulas que proporcionan la relación entre la suma y el producto de raíces del polinomio con los coeficientes de los polinomios. La fórmula de Vieta describe los coeficientes del polinomio en forma de suma y producto de su raíz. 

La fórmula de Vieta trata de la suma y el producto de las raíces y el coeficiente del polinomio. Se usa cuando tenemos que encontrar el polinomio cuando se dan raíces o tenemos que encontrar la suma o el producto de las raíces.

Fórmula de Vieta para la ecuación cuadrática

• Si f(x) = ax ² + bx + c es una ecuación cuadrática con raíces α y β entonces,
  • Suma de raíces = α + β = -b/a
  • Producto de raíces = αβ = c/a
• Si se dan la suma y el producto de raíces entonces, la ecuación cuadrática viene dada por:
  • x ² – (suma de raíces)x + (producto de raíces) = 0

Fórmula de Vieta para la ecuación cúbica

• Si f(x) = ax ³ + bx ² + cx +d es una ecuación cuadrática con raíces α, β y γ entonces,
  • Suma de raíces = α + β + γ = -b/a
  • Suma del producto de dos raíces = αβ + αγ + βγ = c/a 
  • Producto de raíces = αβγ = -d/a
• Si se dan la suma y el producto de raíces entonces, la ecuación cúbica está dada por:
  • x ³ – (suma de raíces)x ² + (suma del producto de dos raíces)x – (producto de raíces) = 0

Fórmula de Vieta para la ecuación generalizada

Si f(x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + ……… + a ₂ x ² + a ₁ x +a ₀ es una ecuación cuadrática con raíces r ₁ , r ₂ , r ₃ , …… r _n-1 , r _n entonces,

r1 + r2 _{+ r3 +} ………. + r _n-1 + r _n = -a _n-1 /a _n

(r ₁ r ₂ + r ₁ r ₃ +…. +r ₁ r _n ) + (r ₂ r ₃ + r ₂ r ₄ +……. +r ₂ r _n ) + ……… + r _n-1 r _n = un _n-2 /un _norte

:

:

r ₁ r ₂ …r _norte = (-1) ^norte (un ₀ /un _norte ) 

Problemas de muestra 

Problema 1: Si α , β son las raíces de la ecuación : x ² – 10x + 5 = 0 , entonces encuentra el valor de (α ² + β ² )/(α ² β + αβ ² ).

Solución: 

EcuaciónDada: x ² – 10x + 5 = 0

Por la fórmula de Vieta

α + β = -b/a = -(-10)/1 = 10

αβ = c/a = 5/1 = 5

Como (α ² +β ² ) = (α + β ) ² – 2αβ

= (10) ² – 2×5 

= 100 – 10  

(α ² + β ² ) = 90

Ahora valor de (α ² + β ² )/(α ² β + αβ ² )

= (α2 ⁺ β2 ⁾ /(αβ(α + β))

= 90/(5×10)

= 90/50

= 1,8

Problema 2: Si α , β son las raíces de la ecuación : x ² + 7x + 2 = 0 , entonces encuentra el valor de 14÷(1/α + 1/ β).

Solución:

Ecuación dada: x ² + 7x + 2 = 0

Por la fórmula de Vieta

α + β = -b/a = -7/1 = -7

αβ = c/a = 2/1 = 2

Ahora, (1/α + 1/ β) = (α + β)/αβ

(1/α + 1/ β) = -7/2

Ahora valor de 14 ÷ (1/α + 1/ β)

= 14 ÷ (-7/2)

= 14 × (-2/7)

= -4

Problema 3: Si α , β son las raíces de la ecuación : x ² + 10x + 2 = 0 , entonces encuentra el valor de (α/β + β/α).

Solución: 

Ecuación dada: x ² + 10x + 2 = 0

Por la fórmula de Vieta

α + β = -b/a = 10/1 = 10

αβ = c/a = 2/1 = 2

Como (α ² +β ² ) = (α + β ) ² – 2αβ

= 10 ² – 2×2

= 100 – 4 

= 96

Ahora valor de (α/β + β/α) = (α ² +β ² )/αβ 

= 96/2

= 48

Problema 4: Si α y β son las raíces de la ecuación y dado que α + β = -100 y αβ = -20 entonces encuentra la ecuación cuadrática.

Solución:

Dado, 

Suma de raíces = α + β = -100

Producto de raíces = αβ = -20

La ecuación cuadrática viene dada por:

x ² – (suma de raíces)x + (producto de raíces) = 0

x2 – (-100)x ⁺ (-20) = 0

x2 ⁺ 100x – 20 = 0

Problema 5: Si α , β y γ son las raíces de la ecuación y dado que α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 y αβ γ = -6 entonces encuentra la ecuación cúbica.

Solución:

Dado,

Suma de raíces = α + β + γ= 10,

Suma del producto de dos raíces = αβ + αγ + βγ = -1

Producto de raíces = αβγ = -6

La ecuación cúbica está dada por:

x ³ – (suma de raíces)x ² + (suma del producto de dos raíces)x – (producto de raíces) = 0

x3 – 10×2 ⁺ (-1)x – (-6) = ⁰

x ³ – 10x ² – x + 6 = 0

Problema 6: Si α , β y γ son las raíces de la ecuación x ³ + 1569x ² – 3 = 0 entonces encuentra el valor de [(1/α) + (1/β )] ³ + [(1/γ) + (1/β)] ³ + [(1/γ) + (1/α)] ³

Solución:

Dado,

Suma de raíces = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569

Suma del producto de dos raíces = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0

Producto de raíces = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3

Ya que, (p ³ + q ³ + r ³ – 3pqr) = (p + q + r)(p ² +q ² + r ² – pq – qr – pr) ……(1)

Sea, p = (1/α) + (1/β ) , q = (1/γ) + (1/β ) , r = (1/γ) + (1/α )

p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ

= 2(0/3) = 0 

De la ecuación (1):

(p ³ + q ³ + r ³ – 3pqr) = 0

pag ³ + q ³ + r ³ = 3pqr 

[(1/α) + (1/β )] ³ + [(1/γ) + (1/β )] ³ + [(1/γ) + (1/α )] ³ = 3[(1/ α) + (1/β)][(1/γ) + (1/β)][(1/γ) + (1/α)]

= 3(-1/γ)(-1/α) (-1/β )

= -3/αβγ = -3/3

= -1

Problema 7: Si α y β son las raíces de la ecuación x ² – 3x +2 =0 entonces encuentra el valor de α ² – β ² .

Solución:

Dado,

Suma de raíces = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3

Producto de raíces = αβγ = c/a = 2/1 = 2

Como (α – β) ² = (α + β) ² -4αβ  

(α – β) ² = (3) ² – 4(2) = 9 – 8 = 1

(α – β) = 1

Ya que, 

α2 – β2 ^{= (} α – β)(α + β) = (1)(3) = 3

α ² – β ² = 3