En un ensayo de Bernoulli, la probabilidad del número de fallas sucesivas antes de obtener el éxito se representa mediante una distribución geométrica , que es una especie de distribución de probabilidad discreta. Un ensayo de Bernoulli es una prueba que solo puede tener uno de dos resultados: éxito o fracaso. En otras palabras, se repite un ensayo de Bernoulli hasta que se obtiene el éxito y luego se detiene en la distribución geométrica.
En una variedad de circunstancias de la vida real, la distribución geométrica se usa comúnmente. En la industria financiera, por ejemplo, la distribución geométrica se usa para estimar las recompensas financieras de tomar una decisión dada en un análisis de costo-beneficio. En esta publicación, veremos la definición de la distribución geométrica, varias instancias y algunos temas asociados.
Distribución Geométrica
Una distribución geométrica es una distribución de probabilidad discreta que indica la probabilidad de lograr el primer éxito después de una serie de fracasos. El número de intentos en una distribución geométrica puede continuar indefinidamente hasta que se logre el primer éxito. Las distribuciones geométricas son distribuciones de probabilidad que se basan en tres suposiciones clave.
- Los juicios que se están llevando a cabo son autónomos.
- Cada prueba solo puede tener uno de dos resultados: éxito o fracaso.
- Para cada intento, la probabilidad de éxito, representada por p, es la misma.
Fórmula para la distribución geométrica
P (X = x) = (1-p) x-1 p
P (X ≤ x) = 1-(1-p) x
La función de masa de probabilidad (pmf) y la función de distribución acumulativa se pueden utilizar para caracterizar una distribución geométrica (CDF). La probabilidad de éxito de un ensayo se denota por p, mientras que la probabilidad de fracaso se denota por q. q = 1 – p en este caso. X ∼ G ( p ) representa una variable aleatoria discreta, X, con una distribución de probabilidad geométrica.
Distribución Geométrica PMF
La probabilidad de que una variable aleatoria discreta, X, sea exactamente idéntica a algún valor, x, está determinada por la función de masa de probabilidad.
P(X = x) = (1 – p) x -1 p
donde, 0 < p ≤ 1.
Distribución Geométrica CDF
La probabilidad de que una variable aleatoria, X, asuma un valor menor o igual que x puede describirse como la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria, X, que se evalúa en un punto, x. La función de distribución es otro nombre para ella.
P(X ≤ x) = 1 – (1 – p) x
Media de Distribución Geométrica
La media de la distribución geométrica es también el valor esperado de la distribución geométrica. El promedio ponderado de todos los valores de una variable aleatoria, X, es el valor esperado de X.
E[X] = 1 / p
Varianza de la Distribución Geométrica
La varianza es una medida de dispersión que examina hasta qué punto se dispersan los datos en la distribución en relación con la media.
Var[X] = (1 – p) / p 2
Desviación Estándar de la Distribución Geométrica
La raíz cuadrada de la varianza se puede utilizar para calcular la desviación estándar. La desviación estándar también indica cuánto se desvía la distribución de la media.
DE = √VAR[X]
DE = √1-p/p
Problemas de muestra
Problema 1: si un paciente está esperando un donante de sangre adecuado y la probabilidad de que el donante seleccionado sea compatible es de 0,2, encuentre el número esperado de donantes que se analizarán hasta que se encuentre una compatibilidad, incluido el donante compatible.
Solución:
Dado,
p = 0,2
E[X] = 1 / p
= 1 / 0,2
= 5
El número esperado de donantes que serán evaluados hasta que se encuentre una compatibilidad es 5
Problema 2: Supón que estás jugando un juego de dardos. La probabilidad de éxito es 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de que aciertes en la diana en el tercer intento?
Solución:
Dado,
p = 0,4
P(X = x) = (1 – p) x – 1 p
P(X = 3) = (1 – 0,4) 3 – 1 (0,4)
P(X = 3) = (0,6) 2 (0,4)
= 0,144
La probabilidad de que aciertes en la diana en el tercer intento es 0,144.
Problema 3: Una fábrica de bombillas encuentra 3 de cada 60 bombillas defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre la primera bombilla defectuosa cuando se prueba la sexta?
Solución:
Dado,
p = 3 / 60 = 0,05
P(X = x) = (1 – p) x – 1 p
P(X = 6) = (1 – 0,05) 6 – 1 (0,05)
P(X = 6) = (0,95) 5 (0,05)
P(X = 6) = 0,0386
La probabilidad de que la primera bombilla defectuosa se encuentre en el sexto intento es 0.0368
Problema 4: Encuentre la densidad de probabilidad de la distribución geométrica si el valor de p es 0.42; x = 1,2,3 y también calcule la media y la varianza.
Solución:
Dado que p = 0.42 y el valor de x = 1, 2, 3
La fórmula de la densidad de probabilidad de la distribución geométrica es
P(x) = p(1-p) x-1 ; X = 1, 2, 3
P(x) = 0; de lo contrario
P(x) = 0,42 (1- 0,42)
P(x) = 0; De lo contrario
Media= 1/p = 1/0.42 = 2.380
Varianza = 1-p/ p 2
= 1-0,42 /(0,42) 2
= 3.287
Problema 5: si la probabilidad de romper la olla en la piscina es 0.4, encuentre el número de frenos antes del éxito y la varianza y desviación estándar correspondientes.
Solución:
Aquí,
X ∼ geo(0.4)
Por eso,
e(x) = 1/0,4 = 2,5
Var(x) = 0,6/0,4²
= 3,75
Por lo tanto, desviación estándar ( σ ) = 1.94
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Artículo escrito por bunny031200 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA