La recursividad se puede definir mediante dos propiedades. Un caso base y un paso de recursión. El caso base es un escenario final que no utiliza la recursividad para producir resultados. El paso de recursión consta de un conjunto de reglas que reduce los casos sucesivos para reenviar al caso base.
Fórmula recursiva
Una función recursiva es una función que define cada término de una secuencia utilizando el término anterior, es decir, el siguiente término depende de uno o más términos anteriores conocidos. La función recursiva h(x) se escribe como-
h(x) = a 0 h(0) + a 1 h(1) + a 2 h(2) + … + a x – 1 h(x – 1)
Donde a i ≥ 0 y i = 0, 1, 2, 3, … x – 1
La fórmula recursiva es una fórmula que define cada término de la secuencia utilizando los términos anteriores/anteriores. Define los siguientes parámetros
- El primer término de la sucesión.
- La regla del patrón para obtener cualquier término a partir de sus términos anteriores.
Hay pocas fórmulas recursivas para encontrar el término n basado en el patrón de los datos dados. Están,
- n -ésimo término de la progresión aritmética a n = a n – 1 + d para n ≥ 2
- enésimo término de la progresión geométrica a n = a n – 1 × r para n ≥ 2
- n -ésimo término en la secuencia de fibonacci a n = a n – 1 + a n – 2 para n ≥ 2 y a 0 = 0 & a 1 = 1
Donde d es la diferencia común y r es la razón común
Problemas de muestra
Pregunta 1: Dada una serie de números con un número faltante en el medio 1, 11, 21, ?, 41. Usando la fórmula recursiva encuentre el término faltante.
Solución:
Dado,
1, 11, 21, _, 41
Primer término (a) = 1
Diferencia entre términos = 11 – 1 = 10
21 – 11 = 10
Entonces la diferencia entre los números es la misma.
Diferencia común (d) = 10
La función recursiva para encontrar el enésimo término es a n = a n-1 + d
un 4 = un 4-1 + re
= un 3 + re
= 21 + 10
un 4 = 31
El término que falta en la serie dada es 31.
Pregunta 2: Dada la serie de números 5, 9, 13, 17, 21,… De la serie dada, encuentre la fórmula recursiva
Solución:
serie numérica dada
5, 9, 13, 17, 21,…
primer término (a) = 5
Diferencia entre términos = 9 – 5 = 4
13 – 9 = 4
17 – 13 = 4
21 – 17 = 4
Entonces la diferencia entre los números es la misma.
Diferencia común (d) = 4
La serie de números dada está en progresión aritmética.
Entonces fórmula recursiva a n = a n-1 + d
un norte = un n -1 + 4
Pregunta 3: Dada una serie de números con un número faltante en el medio 1, 3, 9, _, 81, 243. Usando la fórmula recursiva encuentre el término faltante.
Solución:
Dado,
1, 3, 9, _, 81, 243
Primer término (a) = 1
La diferencia entre los números es grande, por lo que no debería estar en progresión aritmética.
Veamos si está en progresión geométrica o no,
un 2 / un 1 = 3/1 = 3
a 3 / a 2 = 9/3 = 3
a 5 / a 4 = 243/81 = 3
Por lo tanto, la relación entre números adyacentes es la misma. Entonces, la serie dada está en progresión geométrica.
Relación común (r) = 3
La función recursiva para encontrar el enésimo término es a n = a n-1 × r
un 4 = un 4-1 × r
= un 3 × r
= 9 × 3
un 4 = 27
El término que falta en la serie dada es 27.
Pregunta 4: Dada la serie de números 2, 4, 8, 16, 32, … A partir de la serie dada, encuentre la fórmula recursiva.
Solución:
Dada la serie de números,
2, 4, 8, 16, 32, …
Primer término (a) = 2
Diferencia entre términos = 4 – 2 = 2
8 – 4 = 4
No está en AP ya que la diferencia entre los números no es la misma.
Comprobemos si está en progresión geométrica o no.
un 2 / un 1 = 4/2 = 2
a 3 / a 2 = 8/4 = 2
a 4 / a 3 = 16/8 = 2
Relación común (r) = 2
La serie de números dada está en progresión geométrica.
Entonces fórmula recursiva a n = a n-1 × r
un norte = un n -1 × 2
Pregunta 5: Encuentre el término 5 en una serie de Fibonacci si los términos 3 y 4 son 2,3 respectivamente.
Solución:
Dado que la serie de números está en forma de serie de Fibonacci.
También dado un 3 = 2
un 4 = 4
Entonces un 5 = un 3 + un 4
= 2 + 3
un 5 = 5
Pregunta 6: Encuentra el siguiente término en la serie dada 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Solución:
Dado,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
La serie dada está en forma de fibonacci porque cada término n es el resultado de la suma entre dos términos anteriores, es decir, n – 1 y n – 2 términos
Ejemplo: un 3 = un 1 + un 2
3 = 1 + 2
Entonces un 8 = un 7 + un 6
= 13 + 8
un 8 = 21
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por akhilvasabhaktula03 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA