Fórmula de límite

Si una función f(x) da un valor no definido en un punto, entonces se usa un límite para definir valores de una función, no exactos pero aproximados al valor en un punto. Si consideramos una función f(x) que no está definida en un punto. entonces, para encontrar el valor de la función en este punto. no podemos encontrar su valor exacto, pero podemos encontrar su valor más cercano de la función o un valor cercano de la función. El valor más cercano y exacto tiene una diferencia muy pequeña entre ellos, es decir, si el punto exacto es 2, entonces el valor que se aproxima es 1,9999999… pronto. 

Fórmulas de límite

Límites trigonométricos: Para evaluar los límites trigonométricos, tenemos que reducir los términos de la función a términos más simples oa términos de senθ y cosθ.  

• _{límite x ⇢ 0}   senx /x = límite _{x ⇢ 0} x/senx = 1
• lím _{x ⇢ 0} tanx/x = lím _{x ⇢ 0} x/tanx =1

Como consideramos nuestro primero, 

lím _{x ⇢ 0} senx/x =1      

Usando L-Hospital

lím _{x ⇢ 0} cosx/1 

límite _{x ⇢ 0} cos(0)/1 = 1/1 =1

Si la función da forma indeterminada al poner límites, entonces usa la regla l-hospital.

Forma indeterminada 

0/0, ∞/∞, ∞-∞, ∞/0, 0 ^∞ , ∞ ⁰ , 0 ⁰ , ∞ ^∞

Regla L-hospital

Si obtenemos la forma indeterminada, diferenciamos numerador y denominador por separado hasta obtener un valor finito. Recuerda que diferenciaríamos numerador y denominador la misma cantidad de veces. De manera similar para todas las funciones trigonométricas,

• lím _{x ⇢ 0} sen ^-1 x/x = lím _{x ⇢ 0} x/sen ^-1 x = 1

lím _{x ⇢ 0} sen ^-1 x/x =1

lím _{x ⇢ 0} 1/√1+x ²   [Usando L-Hospital] 

= 1/√(1 + (0) ² )= 1

Lo mismo aquí, todas las funciones trigonométricas,

• lím _{x ⇢ a}  sen x ^o /x = π/180
• lím _{x ⇢ a}  sin(xa) / (xa) =1

lím _{x ⇢ a} sin(x – a) / (x – a) 

=1

lím _{x ⇢ a} cos(x – a)/1 

= lím _{x ⇢ a} cos(a – a) = cos(0) =1

• lím _x⇢∞ senx/x = 0
• lím _x⇢∞ cosx/x = 0
• lím _x⇢∞ sin(1/x) / (1/x) =0

lím _{x ⇢ ∞} sen(1/x)/(1/x) = 0

Sea 1/x = h

Entonces, limita los cambios a 0

Porque 1\∞ = 0

lím _{h ⇢ 0} senh/h

Como vimos antes, Si lím _{x ⇢ 0} senx/x = 1

Entonces, lím _{h ⇢ 0} senh/h = 1

Límites exponenciales 

• límite _{x ⇢ 0}  e ^x – 1 /x = 1
• límite _{x ⇢ 0}  a ^x – 1 /x = log _e a
• lím _{x ⇢ 0} e ^λx – 1 /x = λ

Lo mismo aquí, obtenemos el resultado deseado usando la regla L-hospital. 

Método alternativo: Usar expansión

e ^x = 1 + X + X ² /2! + X ³ /3! + X ⁴ /4!+ … ∞

límite _{x ⇢ 0}  e ^x – 1 /x = 1

límite _{x ⇢ 0} (1 + X + X ² /2!+ —) -1 /x

límite _{x ⇢ 0} (X + X ² /2! + —)/x

límite _{x ⇢ 0} 1 + X + X ² /2!+—

límite _{x ⇢ 0} 1 + 0 + 0 + 0 + 0— = 1

Límites logarítmicos

• límite _{x ⇢ 0} log(1 + x) /x = 1
• lím _{x ⇢ e} log _e x = 1
• límite _{x ⇢ 0} log _e (1 – x) /x = -1
• límite _{x ⇢ 0} log _a (1 + x) /x = log _a e

Demostración sencilla mediante el uso de L-hospital y el método de expansión.

Alguna expansión importante 

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12.  (Aquí, sinhx es una función hiperbólica)
13. 
14. 
15. 

Ejemplos de problemas

Pregunta 1: Resuelve, lim _x⇢0  (x – senx ) /(1 – cosx).

Solución:

Usando L-hospital,

lím _{x ⇢ 0} (1 – cosx) / (senx)

lím _{x ⇢ 0} senx / cosx = sen(0) / cos(0) = 0/1 = 0

Pregunta 2: Resuelve, lím _{x ⇢ 0} (e ^2x -1) / sen4x.

Solución:

Usando L-hospital 

lím _{x ⇢ 0} (2)(e ^​​2x ) / cos4x

lím _{x ⇢ 0}  2(e ⁰ ) / cos4(0) = 2/1= 2

Pregunta 3: Resuelve, lím _{x ⇢ 0} (1 – cosx) / x ²

Solución:

Usando L-hospital 

lím _{x ⇢ 0} senx /2x = 1/2 {senx/x = 1}

Pregunta 4: Resuelve, lím _{x ⇢ ∞} 

Solución:

límite _{x ⇢ ∞} (1 +  )

1 + límite _{x ⇢ ∞}

Como sabemos, x = ∞  

Entonces 1/x = 0

1 + 0 = 0                                                                                                                                                 

Pregunta 5: Resuelve, lím _{x ⇢ π/2} (tanx) ^cosx 

Solución:

sea ​​Y = lim _{x ⇢ π/2}   (tanx) ^cosx

Tomando logaritmo de _ambos lados,

 log _e Y = lím _{x ⇢ π/2}  log _e (tanx) ^cosx 

 log _e Y = lím _{x ⇢ π/2}  cosx log _e (tanx)

log _e y = lím _{x ⇢ π/2} loge(tanx)/secx

Usando l-hospital,

log _e y = lím _{x ⇢ π/2} cosx /sen ² x = 0

Ahora, tomando exponente en ambos lados,

Y = límite _{x ⇢ π/2} e ⁰ 

Y = lím _{x ⇢ π/2}  (tanx) ^cosx = 1  

Pregunta 6: límite _{x ⇢ 0}  

Solución:

limx⇢0 \frac{1+\frac{x}{1!} + \frac{x ² }{2!} + \frac{x ³ }{3!} – ( 1+ x+ \frac{x ² } {2!} ) }{x ³ }

limx⇢0 \frac{\frac{x ³ }{3!}}{x ³ } = 1/3! =1/6

Pregunta 7: Resuelve, lim _{a ⇢ 0}  

Solución:

Usando l-hospital (diferenciando numerador y denominador con a)  

lím _{a ⇢ 0}  x ^a logx = logx

Pregunta 8: Resuelve, lím _{x ⇢ 0} 

Solución:

límite _{x ⇢ 0} 

límite _{x ⇢ 0} 1 + x/3! = 1