La trigonometría es el campo de las matemáticas que se ocupa de la relación entre las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos. Las razones trigonométricas utilizadas para examinar esta conexión son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. La trigonometría se deriva de los términos ‘Trigonon’ y ‘Metron’, que implican triángulo y medida, respectivamente. Es el estudio de la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Por lo tanto, ayuda a determinar las dimensiones desconocidas de un triángulo rectángulo mediante el empleo de fórmulas e identidades basadas en esta conexión.
Relación trigonométrica del seno
Una razón trigonométrica es la razón de dos lados de un triángulo rectángulo. Una de estas razones es la razón del seno. El seno de un ángulo es la razón de la longitud del lado opuesto dividida por la longitud de la hipotenusa.
Si θ es el ángulo formado por la base y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces,
sen θ = Perpendicular/Hipotenusa
Fórmula de la ley de los senos
La fórmula de la ley de los senos se usa para relacionar las longitudes de los lados de un triángulo con los senos de ángulos consecutivos. Es la razón de la longitud del lado del triángulo al seno del ángulo generado por los otros dos lados restantes. A excepción de los triángulos SAS y SSS, la fórmula de la ley de los senos se aplica a todos los triángulos. Afirma,
a/sen A = b/sen B = c/sen C
dónde,
a, b y c son las longitudes del triángulo ABC
A, B y C son los ángulos del triángulo ABC
Derivación
Para derivar la ley del seno, considere los dos triángulos oblicuos que se ilustran a continuación.
En el triángulo izquierdo tenemos:
sen A = h/b
=> h = b sen A ……….. (1)
En el triángulo rectángulo tenemos:
sen B = h/a
=> h = a sen B ……….. (2)
De (1) y (2), obtenemos
a senB = b senA
=> a/senA = b/senB
De manera similar, a/sinA = c/sinC.
Al combinar las dos fórmulas anteriores, obtenemos la ley del seno como se muestra a continuación.
a/sen A = b/sen B = c/sen C
Problemas de muestra
Pregunta 1. Se da para un triángulo ABC, a = 20 unidades, c = 25 unidades y ∠C = 30º. Encuentra el ∠A del triángulo.
Solución:
Tenemos, a = 20 unidades, c = 25 unidades y ∠C = 30º.
Usa la fórmula del seno para encontrar A.
a/sen A = c/sen C
20/sen A = 25/sen 30
sen A = 0,40
A = 23,5°
Pregunta 2. Se da para un triángulo ABC, b = 15 unidades, c = 20 unidades y ∠C = 60º. Encuentra el ∠B del triángulo.
Solución:
Tenemos, b = 15 unidades, c = 20 unidades y ∠C = 60º
Usa la fórmula del seno para encontrar B.
b/sen B = c/sen C
15/sen B = 20/sen 60
sen B = 0.649448
B = 40,5°
Pregunta 3. Se da para un triángulo ABC, b = 30 unidades, c = 40 unidades y ∠C = 30º. Encuentra el ∠B del triángulo.
Solución:
Tenemos, b = 30 unidades, c = 10 unidades y ∠C = 30º.
Usa la fórmula del seno para encontrar B.
b/sen B = c/sen C
30/sen B = 40/sen 30
sen B = 0.374607
B = 22°
Pregunta 4. Se da para un triángulo ABC, b = 5 unidades, c = 10 unidades y ∠C = 60º. Encuentra el ∠B del triángulo.
Solución:
Tenemos, b = 5 unidades, c = 10 unidades y ∠C = 60º
Usa la fórmula del seno para encontrar B.
b/sen B = c/sen C
5/sen B = 10/sen 60
senB = 0,433659
B = 25,7°
Pregunta 5. Se da para un triángulo ABC, b = 9 unidades, c = 18 unidades y ∠C = 75º. Encuentra el ∠B del triángulo.
Solución:
Tenemos, b = 9 unidades, c = 18 unidades y ∠C = 75º
Usa la fórmula del seno para encontrar B.
b/sen B = c/sen C
9/sen B = 20/sen 75
senB = 0,483282
B = 28,9°
Pregunta 6. Se da para un triángulo ABC, b = 11 unidades, c = 22 unidades y ∠C = 70º. Encuentra el ∠B del triángulo.
Solución:
Tenemos, b = 11 unidades, c = 22 unidades y ∠C = 70º.
Usa la fórmula del seno para encontrar B.
b/sen B = c/sen C
11/sen B = 22/sen 70
sen B = 0.469472
B = 28°
Pregunta 7. Se da para un triángulo ABC, b = 8 unidades, c = 13 unidades y ∠C = 85º. Encuentra el ∠B del triángulo.
Solución:
Tenemos, b = 8 unidades, c = 13 unidades y ∠C = 85º.
Usa la fórmula del seno para encontrar B.
b/sen B = c/sen C
8/sen B = 13/sen 85
sen B = 0,612907
B = 37,8°