Ley de Biot-Savart

La ecuación de Biot-Savart expresa el campo magnético creado por un cable que transporta corriente. Este conductor o alambre se representa como una cantidad vectorial llamada elemento de corriente. Echemos un vistazo a la ley y la fórmula de la ley biot-savart en detalle,

La ley establece la magnitud de la inducción magnética en un lugar causada por un elemento diminuto de un conductor que lleva corriente.

Directamente proporcional a la corriente
Directamente proporcional a la longitud del elemento.
Directamente proporcional al seno del ángulo entre el elemento y la línea que une el centro del elemento con el punto y,
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto al centro del elemento

dB α yo

dB α dl

dB α senΘ

dB α 1 / r ²

∴ dB α IdlsinΘ / r ²

∴ dB = KIdlsinΘ / r ² (K es constante)

Derivación

Considere un conductor de cualquier forma que lleva una corriente (I) y un elemento de longitud pequeña (dl) (consulte la imagen a continuación). El flujo de corriente se representa verticalmente hacia arriba.

Sea (P) cualquier punto a una distancia (r) del elemento portador de corriente, y (r) el vector de posición de (P) con respecto al elemento actual, y sea el ángulo entre (dl) y (r) , en la dirección de la corriente.

Biot – Ley de Savart

Según la Ley de Biot-Savart, la inducción magnética en el punto (P) viene dada por,

dB = KIdlsenΘ / r ² ⇢ (1)

Aquí, K es constante y su valor depende del sistema de unidades y también del medio en el que se encuentra el conductor.

En el sistema SI, la constante K para el vacío o el aire se escribe como [μ _o / 4π] donde μ ₀ se denomina permeabilidad del vacío o espacio libre.

Sustituyendo K en la ecuación (1) obtenemos,

dB = μ ₀ / 4π [IdlsinΘ / r ² ] ⇢ (2)

Unidad SI de μ ₀ Wb/Am. Su valor es 4π X 10 ^-7 Wb / Am

(μ0 _/ 4π = 10 ^-7 Wb/Am)

La dirección de la inducción magnética es perpendicular al plano de la figura y dirigida dentro del plano. (según la regla del pulgar de la mano derecha).

En forma vectorial,

$\vec {dB} = \frac{\mu_0}{4\pi} . (\frac {I \vec {dl}\times \vec r}{r^3})$

Donde [r] es el vector dibujado desde el centro del elemento hasta el punto y [dl] es la longitud del elemento, en la dirección de la corriente. La inducción magnética total en un punto P debida a todo el conductor se encuentra sumando la contribución de todos esos elementos [dl] y se expresa como,

$\vec B =\sum \vec {dB} = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum I_{dl\rightarrow 0} \frac {\vec {dl}\times \vec r}{r^3}$

$\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum I_{dl\rightarrow 0} \frac {d\vec l\times \vec r}{r^3}$

La suma se reemplaza por ∫

$\vec B = \int \vec{dB} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int (\frac{I\vec{dl \times \vec r}}{r^3})$

Ahora, la magnitud de la inducción magnética debida a un conductor rectilíneo y de longitud infinita, que transporta una corriente I, en un punto a una distancia ‘a’ del conductor está dada por,

$B = \frac{\mu_0I}{2\pi a}$

Aplicaciones de la ley de Biot – Savart

Los siguientes son algunos de la importancia de la ley de Biot-Savart:

Podemos utilizar la ley de Biot-Savart para determinar las respuestas magnéticas a nivel atómico o molecular.
Puede utilizarse en la teoría aerodinámica para determinar la velocidad promovida por las líneas de vórtice.
Esta regla se puede utilizar para calcular el campo magnético producido por un elemento de corriente.

Importancia de la Ley de Biot-Savart

Los siguientes son algunos de la importancia de la ley de Biot-Savart:

En electrostática, la ley de Biot-Savart es análoga a la ley de Coulomb.
La legislación también se aplica a los conductores extremadamente pequeños que transportan corriente.

Problemas conceptuales

Pregunta 1: Indique Biot: la ley de Savart y escríbala en forma de vector.

Responder:

Enunciado de la ley : La magnitud de la inducción magnética en un punto debido a un pequeño elemento de un conductor que lleva corriente es, directamente proporcional a la corriente, directamente proporcional a la longitud del elemento, directamente proporcional al seno del ángulo entre el elemento y la línea que une el centro del elemento al punto e, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto al centro del elemento.

La ley de Boit Savart en forma vectorial viene dada por: $\vec {dB} = \frac{\mu_0}{4\pi} . (\frac {I \vec {dl}\times \vec r}{r^3})$

Pregunta 2: Indique dos aplicaciones cualesquiera de la ley de Biot Savart.

Responder:

Las aplicaciones de la ley de Biot Savart son:

Para calcular las respuestas magnéticas a nivel atómico o molecular, podemos usar la ley de Biot-Savart y

Puede usarse en teoría aerodinámica para calcular la velocidad inducida por líneas de vórtice.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Una corriente de 5A fluye de sur a norte en un cable que se mantiene en la dirección norte-sur. Encuentre el campo magnético debido a un trozo de alambre de 1 cm en un punto a 2 m al noreste del trozo de alambre.

Solución:

Datos dados: I = 5A

r = 2m

Θ = 45°

dl = 1 cm = 1 × 10 ^-2 m

Para encontrar: campo magnético (dB)

Fórmula: dB = μ ₀ / 4π [IdlsinΘ / r ² ]

Cálculo: A partir de la fórmula,

dB = 10 ^-7 × 6 × 10 ^-2 × sin45° / 2 ²

= 8,84 × 10 ^-10 T

El campo magnético debido al alambre en el punto es 8,84 × 10 ^-10 .

Pregunta 2: Un cable largo y recto transporta una corriente de 35A. ¿Cuál es el campo magnético B en un punto a 20 cm del alambre?

Solución:

Datos dados: I = 35A

= 30 cm = 0,3 m

Para encontrar: El campo de magnitud (B)

Fórmula: B = μ ₀ / 2π (I / a)

Cálculo: A partir de la fórmula,

B = 4π × 10 ^-7 / 2π (35 / 0,3)

= 2 × 10 ^-7 (116,66)

B = 233,32 × 10 ^-7 T

El campo magnético en el punto 30 cm es 233,32 × 10 ^-7 T.

Pregunta 3: Un cable largo y recto en el plano horizontal lleva una corriente de 50 A en dirección norte-sur. Dé la magnitud y la dirección de B en un punto a 3 m al este del cable.

Solución:

Datos dados: I = 50A

a = 3m

Para encontrar: la magnitud y la dirección de B

Fórmula: B = μ ₀ I / 2πa

Cálculo: A partir de la fórmula,

B = 4π × 10 ^-7 × 50 / 2π × 3

= 2 × 10 ^-7 × 50 / 3

B = 3.333 × 10 ^-6 T

Actúa en la dirección vertical hacia arriba, por lo que la dirección es hacia abajo.

«Nota: la dirección del campo magnético siempre está en un plano perpendicular a la línea del elemento y el vector de posición».

La magnitud de B es 4 × 10 ^-6 T y la dirección es verticalmente hacia abajo.

Pregunta 4: Dos cables paralelos rectos largos en el vacío están separados por 4 m y transportan corrientes 6A y 8A en la misma dirección. Encuentre el punto neutro, es decir, el punto en el que la inducción magnética resultante es cero.

Solución:

Datos dados: I ₁ = 4A

Yo ₂ = 8A

r = 4m

Para encontrar: punto neutro (el punto en el que la inducción magnética resultante es cero)

Fórmula: (i) B ₁ = μ ₀ / 4π (2I ₁ / r ₁ )

(ii) B ₂ = μ ₀ / 4π (2I ₂ / r ₂ )

La corriente que fluye a través del cable va en la misma dirección. Como resultado, en cualquier ubicación entre los dos cables, las dos inducciones magnéticas B ₁ y B ₂ tendrán orientaciones opuestas. Como resultado, el punto debe ubicarse entre los dos cables.

Para que la inducción magnética resultante sea cero, debemos tener B = B ₂

Deje que el punto correspondiente (el punto neutro) esté a una distancia r ₁ del primer cable y r ₂ del segundo cable.

Cálculo:

B = μ ₀ / 4π ( 2I ₁ / r ₁ ) y B ₂ = μ ₀ / 4π ( 2I ₂ / r ₂ )

Ahora, B ₁ = B ₂

∴ yo ₁ / r ₁ = yo ₂ / r ₂

∴ r ₂ / r ₁ = yo ₂ / yo ₁

∴ r ₂ / r ₁ = 8A / 4A

= 2

∴ r ₂ = 2r ₁

Pero, r ₁ + r ₂ = r

∴ r1 ₊ 2r1 ₌ 4m

∴ r ₁ = 4/3m y r ₂ = 8/3m

El punto neutro se encuentra a una distancia de 4/3m del cable por el que circula una corriente de 4A.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por lunaticgemini2510 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA