Fórmula de dilatación del tiempo

De acuerdo con la teoría de la relatividad, la dilatación del tiempo se define como la diferencia entre el tiempo transcurrido de dos sucesos evaluados ya sea por el movimiento relativo entre sí o por la masa o masas gravitatorias ubicadas en diferentes lugares.

Considere un reloj que es observado por dos personas. Un observador está estacionario, mientras que el otro viaja a la velocidad de la luz. La existencia de diferencia horaria entre los dos relojes se conoce como dilatación del tiempo.

¿Qué es la dilatación del tiempo?

La dilatación del tiempo es el fenómeno en el que dos cuerpos que se mueven entre sí (o incluso con una intensidad de campo gravitatorio diferente entre sí) experimentan diferentes velocidades de flujo de tiempo.

Se refiere a una situación única en la que el tiempo puede pasar a diferentes velocidades en diferentes marcos de referencia. También depende de la velocidad relativa de un marco de referencia a otro.

En términos sencillos, la dilatación del tiempo es la medida del tiempo transcurrido utilizando dos relojes. Además, el tiempo apropiado (tiempo de una posición) y el tiempo del observador son dos marcos de referencia (tiempo de dos posiciones). Además, están entrelazados y podemos determinar la dilatación temporal de uno conociendo la velocidad y la rapidez de los otros.

Fórmula para la dilatación del tiempo

La fórmula de la dilatación del tiempo está dada por,

T =T ₀ /√1−(v ² /c ² )

dónde,

T es el tiempo observado

T ₀ es el tiempo observado en reposo v es la velocidad del objeto

c es la velocidad de la luz en el vacío (3 × 10 ⁸ m/s ² )

Derivación de la dilatación del tiempo

Para comparar cuantitativamente las mediciones de tiempo en los dos marcos de inercia, podemos vincular las distancias entre sí y luego cuantificar cada distancia en términos del tiempo de viaje del pulso en el marco de referencia asociado. La ecuación resultante se puede resolver para T en términos de T ₀ 

Las longitudes D y L son las hipotenusas de un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras establece que

s ² = re ² + l ²

Las distancias recorridas por el pulso de luz y la nave espacial en el tiempo en el marco del observador terrestre son 2s y 2L, respectivamente. En el marco del astronauta, la longitud D es la distancia recorrida por el pulso de luz en el tiempo T ₀ . Esto nos da tres ecuaciones con las que trabajar:

2s = cT; 2L = vT; 2D = cT ₀

En ambos marcos inerciales, explotamos el segundo postulado de Einstein tomando la velocidad de la luz como c . Ahora podemos conectar estos resultados en la expresión anterior del teorema de Pitágoras:

s ² = re ² + l ²

(c × T/2) ²   = (c × T ₀ /2) ² + (v × T/2) ²

Luego reordenamos para obtener

(c × T) ² – (v × T) ² = (c × T ₀ ) ²

Finalmente, resolver T en términos de T ₀ nos da

T =T ₀ /√1−(v/c) ²

Esto es equivalente a

T = γT _0,

donde γ es el factor relativista (a menudo llamado factor de Lorentz) dado por

γ =1/√1−(v ² /c ² )

yvyc son las velocidades del observador en movimiento y la luz, respectivamente .

Problemas de muestra

Problema 1: Determinar el tiempo relativista, si T ₀ es 7 años y la velocidad del objeto es 0.55c.

Solución:

Dado:

T ₀ = 7 años

v = 0.55c

La fórmula para la dilatación del tiempo está dada por,

T =T ₀ /√1−(v ² /c ² )

T = 7/√1-(0.55) ² (3 ² x 10 ¹⁶ )/3 ² x 10 ¹⁶ 

T = 7/√1- (0,55) ²

T=7/0.8351

T = 8,38 años

Problema 2: ¿Qué es γ? Si v=0.650c.

Solución:

γ = 1/√1−v ² /c ²

   =1/√1−(0.650c)/ ^c2

   = 1,32

Problema 3: Una partícula viaja a 1,90 × 10 ⁸ m/s y vive 2,1 × 10 ⁸ s cuando está en reposo en relación con un observador. ¿Cuánto tiempo vive la partícula vista en el laboratorio?

Solución:

Δt = Δτ/√1−v ² /c ²

    = 2,10×10 ⁻⁸ s/√1−(1,90×10 ⁸ m/s) ² /(3×10 ⁸ m/s) ² 

    = 2,71×10 ⁻⁸ s

Problema 4: ¿Cómo cambia el tiempo durante 10 años viajando a una velocidad del 50% de la de la luz?

Solución:

T ₀ =T x√1−(v ² /c ² )

    = 10 años x √1 – 50 ² /100 ²

    =10 años x √1 – 2500/10000

    = 10 años x √1 – 0,25

    = 10años x √0.75

    = 10 años x 0,866

T ₀ = 8,66 años

Problema 5: Dado v = 0.95c, T ₀ = 10 años. Encuentre T ¿cuál es el tiempo que mide el hermano atado a la tierra?

Solución:

T = 10/√(1- (0.95c) ² /c ² )

T= 10/√(1- 0,95 ² )

T = 10/ 0,312

T = 32 años