Los métodos numéricos son el conjunto de tareas mediante la aplicación de operaciones aritméticas a ecuaciones numéricas. Podemos formular problemas matemáticos para encontrar el resultado aproximado. Esta formulación se llama implementación numérica del problema. En esto, no hay necesidad de algoritmos. Luego se desarrolla la lógica de programación para la implementación numérica. La programación se suele hacer con algunos lenguajes de alto nivel como Fortran, Basic, etc.
Método de bisección
Este método se basa en la aplicación repetida de la propiedad del valor intermedio. Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [x 1 , x 2 ], si f(x 1 ), f(x 2 ) son de signos opuestos, entonces existe al menos una raíz α en el intervalo (x 1 , x 2 ), tal que f(α) = 0.
Método de bisección
La fórmula es: x 2 = (x 0 + x 1 ) / 2
Método de Newton Raphson
El Método de Newton Raphson es el proceso para la determinación de una raíz real de una ecuación f(x)=0 dado solo un punto cercano a la raíz deseada.
Método de Newton Raphson
La fórmula es: x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
Comparación entre el método de bisección y el método de Newton Raphson
| No Señor. | Método de bisección | Método de Newton Raphson |
|---|---|---|
| 1. | En el método de bisección, la tasa de convergencia es lineal, por lo que es lenta. | En el método de Newton Raphson, la tasa de convergencia es de segundo orden o cuadrática. |
| 2. |
En el método de bisección usamos la siguiente fórmula x2 = (x0 + x1 ) / 2 |
En el método de Newton Raphson usamos la siguiente fórmula x1 = x0 – f(x0 ) / f'( x0 ) |
| 3. | En este método, tomamos dos aproximaciones iniciales de la raíz en la que se espera que se encuentre la raíz. | En este método, tomamos una aproximación inicial de la raíz. |
| 4. | El cálculo de la función por iteración es 1. | El cálculo de la función por iteración es 2. |
| 5. | La aproximación inicial es menos sensible. | La aproximación inicial es muy sensible. |
| 6. | En el Método de Bisección, no hay necesidad de encontrar derivadas. | En el método de Newton Raphson, existe la necesidad de encontrar derivadas. |
| 7. | Este método no es aplicable para encontrar dos raíces complejas, múltiples y casi iguales. | Este método es aplicable para encontrar dos raíces complejas, múltiples y casi iguales. |
Pregunta 1: Encuentra la raíz de una ecuación f(x) = x 3 – x – 1
Solución:
Dada la ecuación f(x) = x 3 – x – 1
sea x = 0, 1, 2
- En la 1ra iteración:
f(1) = -1 < 0 y f(2) = 5 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1 y 2
x0 = 1 + 2/2 = 1,5
f(x 0 ) = f(1.5) = 0.875 > 0
- En la 2ª iteración:
f(1) = -1 < 0 y f(1.5) = 0.875 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1 y 1.5
x1 = 1 + 1,5/2 = 1,25
f(x 1 ) = f(1.25) = -0.29688 < 0
- En la 3ra iteración:
f(1,25) = -0,29688 < 0 y f(1,5) = 0,875 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.25 y 1.5
x2 = 1,25 + 1,5/2 = 1,375
f(x2 ) = f(1.375) = 0.22461 > 0
- En la cuarta iteración:
f(1,25) = -0,29688 < 0 y f(1,375) = 0,22461 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.25 y 1.375
x3 = 1,25 + 1,375/2 = 1,3125
f(x 3 ) = f(1.3125) = -0.05151 < 0
- En la quinta iteración:
f(1,3125) = -0,05151 < 0 y f(1,375) = 0,22461 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.3125 y 1.375
x4 = 1,3125 + 1,375/2 = 1,34375
f(x 4 ) = f(1.34375) = 0.08261 > 0
- En la 6ª iteración:
f(1,3125) = -0,05151 < 0 y f(1,34375) = 0,08261 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.3125 y 1.34375
x5 = 1,3125 + 1,34375/2 = 1,32812
f(x 5 ) = f(1.32812) = 0.01458 > 0
- En la séptima iteración:
f(1,3125) = -0,05151 < 0 y f(1,32812) = 0,01458 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.3125 y 1.32812
x6 = 1,3125 + 1,32812/2 = 1,32031
f(x 6 ) = f(1.32031) = -0.01871 < 0
- En la octava iteración:
f(1,32031) = -0,01871 < 0 y f(1,32812) = 0,01458 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.32031 y 1.32812
x7 = 1,32031 + 1,32812/2 = 1,32422
f(x 7 ) = f(1.32422) = -0.00213 < 0
- En la novena iteración:
f(1,32422) = -0,00213 < 0 y f(1,32812) = 0,01458 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.32422 y 1.32812
x8 = 1,32422 + 1,32812/2 = 1,32617
f(x 8 ) = f(1.32617) = 0.00621 > 0
- En la décima iteración:
f(1,32422) = -0,00213 < 0 y f(1,32617) = 0,00621 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.32422 y 1.32617
x9 = 1,32422 + 1,32617/2 = 1,3252
f(x 9 ) = f(1.3252) = 0.00204 > 0
- En la 11ª iteración:
f(1,32422) = -0,00213 < 0 y f(1,3252) = 0,00204 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.32422 y 1.3252
x10 = 1,32422 + 1,3252/2 = 1,32471
f(x 10 ) = f(1.32471) = -0.00005 < 0
La raíz aproximada de la ecuación x 3 – x – 1 = 0 usando el método de bisección es 1.32471
Pregunta 2: Encuentra la raíz de una ecuación f(x) = 2x 3 – 2x – 5
Solución:
Ecuación dada f(x) = 2x 3 – 2x – 5
- En la 1ra iteración:
f(1) = -5 < 0 y f(2) = 7 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1 y 2
x0 = 1 + 2/2 = 1,5
f(x 0 ) = f(1.5) = 2 × 1.53 – 2 × 1.5 – 5 = -1.25 < 0
- En la 2ª iteración:
f(1,5) = -1,25 < 0 y f(2) = 7 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.5 y 2
x1 = 1,5 + 2/2 = 1,75
f(x 1 ) = f(1.75) = 2 × 1.753 – 2 × 1.75 – 5 = 2.21875 > 0
- En la 3ra iteración:
f(1,5) = -1,25 < 0 y f(1,75) = 2,21875 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.5 y 1.75
x2 = 1,5 + 1,75/2 = 1,625
f(x 2 ) = f(1,625) = 2 × 1,6253 – 2 × 1,625 – 5 = 0,33203 > 0
- En la cuarta iteración:
f(1,5) = -1,25 < 0 y f(1,625) = 0,33203 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.5 y 1.625
x3 = 1,5 + 1,625/2 = 1,5625
f(x 3 ) = f(1.5625) = 2 × 1.56253 – 2 × 1.5625 – 5 = -0.49561 < 0
- En la quinta iteración:
f(1,5625) = -0,49561 < 0 y f(1,625) = 0,33203 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.5625 y 1.625
x4 = 1,5625 + 1,625/2 = 1,59375
f(x 4 ) = f(1.59375) = 2 × 1.593753 – 2 × 1.59375 – 5 = -0.09113 < 0
- En la 6ª iteración:
f(1,59375) = -0,09113 < 0 y f(1,625) = 0,33203 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.59375 y 1.625
x5 = 1,59375 + 1,625/2 = 1,60938
f(x 5 ) = f(1.60938) = 2 × 1.609383 – 2 × 1.60938 – 5 = 0.1181 > 0
- En la séptima iteración:
f(1,59375) = -0,09113 < 0 y f(1,60938) = 0,1181 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.59375 y 1.60938
x6 = 1,59375 + 1,60938/2 = 1,60156
f(x 6 ) = f(1.60156) = 2 × 1.601563 – 2 × 1.60156 – 5 = 0.0129 > 0
- En la octava iteración:
f(1,59375) = -0,09113 < 0 y f(1,60156) = 0,0129 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.59375 y 1.60156
x7 = 1,59375 + 1,60156/2 = 1,59766
f(x 7 ) = f(1.59766) = 2 × 1.597663 – 2 × 1.59766 – 5 = -0.03926 < 0
- En la novena iteración:
f(1,59766) = -0,03926 < 0 y f(1,60156) = 0,0129 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.59766 y 1.60156
x8 = 1,59766 + 1,60156/2 = 1,59961
f(x 8 ) = f(1.59961) = 2 × 1.599613 – 2 × 1.59961 – 5 = -0.01322 < 0
- En la décima iteración:
Aquí f(1.59961) = -0.01322 < 0 y f(1.60156) = 0.0129 > 0
La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.59961 y 1.60156
x9 = 1,59961 + 1,60156/2 = 1,60059
f(x 9 ) = f(1.60059) = 2 × 1.600593 – 2 × 1.60059 – 5 = -0.00017 < 0
La raíz aproximada de la ecuación 2x 3 – 2x – 5 = 0 usando el método de bisección es 1.60059
Pregunta 3: Encuentra la raíz de una ecuación f(x) = x 3 – x – 1
Solución:
Ecuación dada x 3 – x – 1 = 0
Usando el método de diferenciar la ecuación es
∴ f′(x) = 3x 2 – 1
Aquí f(1) = -1 < 0 y f(2) = 5 > 0
∴ La raíz se encuentra entre 1 y 2
x0 = 1 + 2/ 2 = 1,5
- En la 1ra iteración:
f(x0 ) = f(1.5) = 0.875
f′(x 0 ) = f′(1.5) = 5.75
x1 = x0 – f(x0 ) / f′ ( x0 )
x1 = 1,5 – 0,875/ 5,75
x1 = 1,34783
- En la 2ª iteración:
f(x1 ) = f(1.34783) = 0.10068
f′(x 1 ) = f′(1.34783) = 4.44991
x2 = x1 – f(x1 ) /f′ ( x1 )
x2 = 1,34783 – 0,10068/4,44991
x2 = 1,3252
- En la 3ra iteración:
f(x2 ) = f(1.3252) = 0.00206
f′(x2 ) = f′(1.3252) = 4.26847
x3 = x2 – f(x2 ) / f′( x2 )
x3 = 1,3252 – 0,00206/4,26847
x3 = 1,32472
- En la cuarta iteración:
f(x 3 ) = f(1.32472) = 0
f′(x 3 ) = f′(1.32472) = 4.26463
x4 = x3 – f(x3 ) /f′ ( x3 )
x4 = 1,32472 – 0/ 4,26463
x4 = 1,32472
La raíz aproximada de la ecuación x 3 – x – 1 = 0 usando el método de Newton Raphson es 1.32472
Pregunta 4: Encuentra la raíz de una ecuación f(x) = 2x 3 – 2x – 5
Solución:
Ecuación dada 2x 3 – 2x – 5 = 0
Usando el método de diferenciar la ecuación es
∴ f′(x) = 6x 2 – 2
Aquí f(1) = -5 < 0 y f(2) = 7 > 0
∴ La raíz se encuentra entre 1 y 2
x0 = 1 + 2/ 2 = 1,5
- En la 1ra iteración:
f(x 0 ) = f(1.5) = 2 × 1.53 – 2 × 1.5 – 5 = -1.25
f′(x 0 ) = f′(1.5) = 6 × 1.52 – 2 = 11.5
x1 = x0 – f(x0 ) /f′ ( x0 )
x1 = 1,5 – (-1,25)/11,5
x1 = 1,6087
- En la 2ª iteración:
f(x 1 ) = f(1,6087) = 2 × 1,60873 – 2 × 1,6087 – 5 = 0,1089
f′(x 1 ) = f′(1.6087) = 6 × 1.60872 – 2 = 13.52741
x2 = x1 – f(x1 ) /f′ ( x1 )
x2 = 1,6087 – 0,1089/13,52741
x2 = 1,60065
- En la 3ra iteración:
f(x 2 ) = f(1,60065) = 2 × 1,600653 – 2 × 1,60065 – 5 = 0,00062
f′(x 2 ) = f′(1.60065) = 6 × 1.600652 – 2 = 13.37239
x3 = x2 – f(x2 ) / f′( x2 )
x3 = 1,60065 – 0,00062/13,37239
x3 = 1,6006
La raíz aproximada de la ecuación 2x 3 – 2x – 5 = 0 usando el método de Newton Raphson es 1.6006
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por itskawal2000 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA