Encuentra la suma de N términos de la serie 1, (1+4), (1+4+4^2), (1+4+4^2+4^3), …..

Dado un entero positivo, N . Encuentre la suma del primer N término de la serie-

1, (1+4), (1+4+4 ² ), (1+4+4 ² +4 ³ ), …., hasta N términos

Ejemplos:

Entrada: N = 3
Salida: 27

Entrada: N = 5
Salida: 453

Acercarse:

1er término = 1

2do término = (1 + 4)

3er término = (1 + 4 + 4 ^ 2)

4to término = (1 + 4 + 4 ^ 2 + 4 ^ 3)

.

.

N-ésimo término = (1 + 4 + 4 ^ 2+….+ 4 ^ (N – 2) + 4 ^(N – 1))

La secuencia se forma usando el siguiente patrón. Para cualquier valor N-

$S_{N}=\frac{4}{9}(4^{N}-1)-\frac{N}{3}$

Derivación:

La siguiente serie de pasos se puede usar para derivar la fórmula para encontrar la suma de N términos:

Las series

$1, (1+4), (1+4+4^{2}), (1+4+4^{2}+4^{3})+....+N terms$

se puede descomponer como-

$a_{1}=1$

$a_{2}=1+4$

$a_{3}=1+4+4^{2}$

$a_{4}=1+4+4^{2}+4^{3}$

$a_{N}=1+4+4^{2}+4^{3}+....+4^{N}$ -(1)

La ecuación (1) está en GP con

Primer término a = 1

Ración común r = 4

La suma de N términos en GP para r>1 es

$S_{N}=\frac{a(r^{N}-1)}{r-1}$

Sustituyendo los valores de a y r en la ecuación anterior, obtenemos-

$S_{N}=\frac{1(4^{N}-1)}{4-1}$

Así, el término

$a_{N}=\frac{(4^{N}-1)}{3}$

La suma de la serie 1, (1+4), (1+4+4^{2}), (1+4+4^{2}+4^{3})+….+N términos puede ser representado como-

$S_{N}=\sum a^{N}$

$S_{N}=\sum \frac{4^{N}-1}{3}$

$S_{N}=\frac{1}{3}\sum 4^{N}-\frac{1}{3}\sum 1$

$S_{N}=\frac{1}{3}(4+4^{2}+4^{3}+....+4^{N})-\frac{N}{3}$ -(2)

La ecuacion-

$4+4^{2}+4^{3}+....+4^{N}$

está en GP con

Primer término a = 4

Razón común r = 4

Aplicando la fórmula de suma de GP-

$S_{N}=\frac{4(4^{N}-1)}{4-1}$ -(3)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2), obtenemos-

$S_{N}=\frac{1}{3}(\frac{4(4^{N}-1)}{4-1})-\frac{N}{3}$

$S_{N}=\frac{4}{3}(\frac{4^{N}-1}{4-1})-\frac{N}{3}$

$S_{N}=\frac{4}{9}(4^{N}-1)-\frac{N}{3}$

Ilustración:

Entrada: N = 3
Salida: 11
Explicación:
$S_{N}=\frac{4}{9}(4^{N}-1)-\frac{N}{3}$
$S_{N}=\frac{4}{9}(4^{3}-1)-\frac{3}{3}$
$S_{N}=\frac{4}{9}(63)-1$
$S_{N}=27$

A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:

C++

// C++ program to implement
// the above approach
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
// Function to calculate the sum
// of first N term
int calcSum(int n)
{
    int a = pow(4, n);
    return (4 * (a - 1) - 3 * n) / 9;
}
 
// Driver Code
int main()
{
    // Value of N
    int N = 3;
 
    // Function call to calculate
    // sum of the series
    cout << calcSum(N);
    return 0;
}

Java

// Java code for the above approach
import java.util.*;
 
class GFG{
 
  // Function to calculate the sum
  // of first N term
  static int calcSum(int n)
  {
    int a = (int)Math.pow(4, n);
    return (4 * (a - 1) - 3 * n) / 9;
  }
 
 
  // Driver Code
  public static void main(String[] args)
  {
    // Value of N
    int N = 3;
 
    // Function call to calculate
    // sum of the series
    System.out.print(calcSum(N));
  }
}
 
// This code is contributed by code_hunt.

Python3

# Python 3 program for the above approach
 
# Function to calculate the sum
# of first N term
def calcSum(n):
    a = pow(4, n)
    return (4 * (a - 1) - 3 * n) / 9
 
 
# Driver Code
if __name__ == "__main__":
 
    # Value of N
    N = 3
     
    # Function call to calculate
    # sum of the series
    print(calcSum(N))
 
# This code is contributed by Abhishek Thakur.

C#

// C# code for the above approach
using System;
 
class GFG{
 
  // Function to calculate the sum
  // of first N term
  static int calcSum(int n)
  {
    int a = (int)Math.Pow(4, n);
    return (4 * (a - 1) - 3 * n) / 9;
  }
 
 
  // Driver Code
  public static void Main()
  {
    // Value of N
    int N = 3;
 
    // Function call to calculate
    // sum of the series
    Console.Write(calcSum(N));
  }
}
 
// This code is contributed by gfgking

Javascript

<script>
// Javascript program to implement
// the above approach
 
// Function to calculate the sum
// of first N term
function calcSum(n)
{
    let a = Math.pow(4, n)
    return (4 * (a - 1) - 3 * n) / 9
}
 
// Driver Code
 
// Value of N
let N = 3
 
// Function call to calculate
// sum of the series
document.write(calcSum(N))
 
// This code is contributed by samim2000.
</script>

Producción

Tiempo Complejidad: O(1)
Espacio Auxiliar: O(1)

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por akashjha2671 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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