La fórmula de la serie infinita se usa para encontrar la suma de un número infinito de términos, dado que los términos están en progresión geométrica infinita con el valor absoluto de la razón común menor que 1. Esto se debe a que, solo si la razón común es menor que 1, la suma convergerá a un valor definido, de lo contrario, el valor absoluto de la suma tenderá a infinito.
Fórmula
Para una serie geométrica, podemos expresar la suma como,
a + ar + ar 2 + ar 3 + … + (términos infinitos) = a/(1 – r)
dónde,
a = primer término de la serie geométrica
r = razón común, donde -1 < r < 1
Condiciones:
- La serie debe estar en progresión geométrica.
- El valor absoluto de la razón común debe ser menor que 1.
Derivación de la fórmula
Consideremos,
a = primer término de la serie geométrica
r = razón común, donde -1 < r < 1
Consideremos que la suma de la progresión geométrica es S.
Entonces podemos escribir,
S = a + ar + ar 2 + ar 3 + … —– (i)
Multiplicando ambos lados de la ecuación por r, obtenemos,
Sr = ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + … —– (ii)
Restar la ecuación. (ii) de la ecuación. (yo), obtenemos
S – Sr = (a + ar + ar 2 + ar 3 ) + … – (ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + …)
S(1 – r) = un
S = un/(1 – r)
Por tanto, la suma de series infinitas de una progresión geométrica es a/(1 – r)
Nota:
Si el valor absoluto de la razón común ‘r’ es mayor que 1, entonces la suma no convergerá.
Así, el valor absoluto de la suma tenderá a infinito. Así, si r > 1,
| S | = | a + ar + ar 2 + ar 3 + … | = ∞
Problemas de muestra
Pregunta 1. Encuentra la suma de la serie infinita con primer término 4 y razón común 1/2.
Solución:
Dado, el primer término a = 4
La razón común r = 1/2
Por lo tanto, podemos escribir la serie como,
S = 4 + 4 × (1/2) + 4 × (1/2) 2 + …
Entonces, la suma quedará como
S = 4/(1 – (1/2)) = 4/(1/2) = 4 × 2 = 8
S = 8
Entonces, la suma de la serie es igual a 8.
Pregunta 2. Encuentra la suma de la serie infinita 1 + (1/2) + (1/2) 2 + (1/2) 3 + … .
Solución:
Dado, el primer término de la serie a = 1 .
La razón común es r = 1/2 .
Como el valor absoluto de la razón común es menor que 1, podemos aplicar la fórmula general.
Entonces, la suma es,
S = 1/(1 – (1/2)) = 2
Entonces, la suma de la serie infinita dada es 2.
Pregunta 3. Evalúa la suma 2 + 4 + 8 + 16 + … .
Solución:
Podemos escribir la suma de la serie dada como,
S = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + …
Podemos observar que es una progresión geométrica con infinitos términos y primer término igual a 2 y razón común igual a 2.
Por lo tanto, r = 2.
Dado que el valor de r > 1, la suma no convergerá y tenderá a infinito. De este modo,
S = + ∞
Pregunta 4. Encuentra la suma de la serie 2 – 1/5 + 1 – 1/25 + 1/2 – 1/125 + … .
Solución:
Podemos escribir la suma de la serie como la diferencia de dos series infinitas como:
S = (2 + 1 + 1/2 + 1/2 2 + …) – (1/5 + 1/25 + 1/125 + … )
S = (2 + 1 + 1/2 + 1/2 2 + …) – (1/5 + 1/5 2 + 1/5 3 + …)
S = S1 – S2
dónde,
S1 = 2 + 1 + 1/2 + 1/2 2 + …
S2 = 1/5 + 1/5 2 + 1/5 3 + …
Aquí, podemos ver que tanto S1 como S2 son sumas infinitas de series geométricas, donde,
a1 = 2, r1 = 1/2
a2 = 1/5, r2 = 1/5
Así, podemos escribir,
S1 = 2/(1 – (1/2)) = 2/(1/2) = 4
S2 = (1/5)/(1 – (1/5)) = (1/5) / (4/5) = 1/4
Entonces, la suma S queda como,
S = S1 – S2 = 4 – 1/4 = (16 – 1)/4 = 15/4 = 3,75
S = 3,75
Por lo tanto, la suma de la serie dada es 3,75.