Matemáticas de ingeniería: fórmulas bien formadas (WFF)

Fórmula bien formada (WFF) es una expresión que consta de variables (letras mayúsculas), paréntesis y símbolos conectivos. Una expresión es básicamente una combinación de operandos y operadores y aquí los operandos y los operadores son los símbolos conectivos.

A continuación se muestran los posibles símbolos conectivos:

1. ¬ (negación)
2. ∧ (Conjunción)
3. ∨ (Disyunción)
4. ⇒ (Flecha hacia la derecha)
5. ⇔ (Flecha izquierda-derecha)

Fórmulas de declaraciones

1. Las declaraciones que no contienen ningún conector se denominan declaraciones atómicas o simples y estas declaraciones en sí mismas son WFF . 

Por ejemplo,

P, Q, R, etc.

2. Las declaraciones que contienen una o más declaraciones primarias se denominan declaraciones moleculares o compuestas . 

Por ejemplo, 

Si P y Q son dos declaraciones simples, entonces algunas de las declaraciones compuestas que siguen los estándares WFF se pueden formar:

-> ¬P 

-> ¬Q 

-> (P ∨ Q) 

-> (P ∧ Q)

-> (¬P ∨ Q) 

-> ((P ∨ Q) ∧ Q)

-> (P ⇒ Q)

-> (P ⇔ Q)

-> ¬(P ∨ Q)

-> ¬(¬P ∨ ¬Q)

Reglas de las fórmulas bien formadas

1. Una variable de declaración por sí sola es una fórmula bien formada (WFF) . 
   Por ejemplo , declaraciones como P, ∼P, Q, ∼Q son en sí mismas fórmulas bien formadas.
2. Si ‘P’ es una WFF, entonces ∼P también es una fórmula.
3. Si P & Q son WFF, entonces (P∨Q), (P∧Q), (P⇒Q), (P⇔Q), etc. también son WFF.

Ejemplo de fórmulas bien formadas:

WFF	Explicación
¬¬P	Por la Regla 1 , cada Declaración por sí misma es una WFF, ¬P es una WFF, y sea ¬P = Q. Entonces, ¬Q también será una WFF.
((P⇒Q)⇒Q)	Por la Regla 3 uniendo ‘(P⇒Q)’ y ‘Q’ con el símbolo conectivo ‘⇒’.
(¬Q ∧ P)	Por la Regla 3 uniendo ‘¬Q’ y ‘P’ con el símbolo conectivo ‘∧’.
((¬P∨Q) ∧ ¬¬Q)	Por la Regla 3 uniendo ‘(¬P∨Q)’ y ‘¬¬Q’ con el símbolo conectivo ‘∧’.
¬((¬P∨Q) ∧ ¬¬Q)	Por la Regla 3 uniendo ‘(¬P∨Q)’ y ‘¬¬Q’ con el símbolo conectivo ‘∧’ y luego usando la Regla 2.

A continuación se muestran los ejemplos que pueden parecer un WFF pero no se consideran fórmulas bien formadas:

1. (P) , ‘P’ solo se considera como WFF según la regla 1, pero colocarlo entre paréntesis no se considera como WFF según ninguna regla.
2. ¬P ∧ Q , esto puede ser (¬P∧Q) o ¬(P∧Q) por lo que tenemos ambigüedad en esta declaración y, por lo tanto, no se considerará como un WFF. Los paréntesis son obligatorios para ser incluidos en las declaraciones compuestas.
3. ((P ⇒ Q)) , Podemos decir que (P⇒Q) es un WFF y dejar que (P⇒Q) = A, ahora considerando los paréntesis exteriores, nos quedaremos con (A), que no es un WFF válido . Los paréntesis juegan un papel muy importante en este tipo de preguntas.
4. (P ⇒⇒ Q) , el símbolo conectivo justo después de un símbolo conectivo no se considera válido para un WFF.
5. ((P ∧ Q) ∧)Q) , el operador de conjunción después de (P∧Q) no es válido.
6. ((P ∧ Q) ∧ PQ) , colocación inválida de variables (PQ).
7. (P ∨ Q) ⇒ (∧ Q) , con el componente Conjunción, solo está presente una variable ‘Q’. Para formar una operación dentro de un paréntesis se requiere un mínimo de 2 variables.