Dada la string str , la tarea es encontrar la cantidad mínima de caracteres que se insertarán para convertirla en un palíndromo.
Antes de continuar, entendamos con algunos ejemplos:
- ab: el número de inserciones necesarias es 1, es decir, b ab
- aa: el número de inserciones requeridas es 0, es decir, aa
- abcd: el número de inserciones necesarias es 3, es decir , dcb abcd
- abcda: El número de inserciones requeridas es 2, es decir, un dc bcda que es el mismo que el número de inserciones en la substring bcd (¿Por qué?).
- abcde: el número de inserciones necesarias es 4, es decir , edcb abcde
Deje que la string de entrada sea str[l……h] . El problema se puede dividir en tres partes:
- Encuentre el número mínimo de inserciones en la substring str[l+1,…….h].
- Encuentre el número mínimo de inserciones en la substring str[l…….h-1].
- Encuentre el número mínimo de inserciones en la substring str[l+1……h-1].
Enfoque recursivo : el número mínimo de inserciones en la string str[l…..h] se puede dar como:
- minInsertions(str[l+1…..h-1]) si str[l] es igual a str[h]
- min(minInsertions(str[l…..h-1]), minInsertions(str[l+1…..h])) + 1 en caso contrario
A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:
Java
// A Naive recursive Java program to find
// minimum number insertions needed to make
// a string palindrome
class GFG
{
// Recursive function to find minimum
// number of insertions
static int findMinInsertions(char str[],
int l, int h)
{
// Base Cases
if (l > h)
return Integer.MAX_VALUE;
if (l == h)
return 0;
if (l == h - 1)
return (str[l] == str[h]) ? 0 : 1;
// Check if the first and last characters
// are same. On the basis of the comparison
// result, decide which subproblem(s) to call
return (str[l] == str[h])?
findMinInsertions(str, l + 1, h - 1):
(Integer.min(findMinInsertions(str, l, h - 1),
findMinInsertions(str, l + 1, h)) + 1);
}
// Driver code
public static void main(String args[])
{
String str= "geeks";
System.out.println(
findMinInsertions(str.toCharArray(),
0, str.length()-1));
}
}
// This code is contributed by Sumit Ghosh
Producción:
3
Solución basada en programación dinámica
Si observamos cuidadosamente el enfoque anterior, podemos encontrar que presenta subproblemas superpuestos .
Supongamos que queremos encontrar el número mínimo de inserciones en la string «abcde»:
abcde
/ |
/ |
bcde abcd bcd <- case 3 is discarded as str[l] != str[h]
/ | / |
/ | / |
cde bcd cd bcd abc bc
/ | / | /| / |
de cd d cd bc c………………….
Las substrings en negrita muestran que la recursividad debe terminar y el árbol de recurrencia no puede originarse desde allí. La substring del mismo color indica subproblemas superpuestos .
¿Cómo reutilizar soluciones de subproblemas? La técnica de memorización se utiliza para evitar recordar subproblemas similares. Podemos crear una tabla para almacenar los resultados de los subproblemas para que puedan usarse directamente si se vuelve a encontrar el mismo subproblema.
La siguiente tabla representa los valores almacenados para la string abcde.
a b c d e ---------- 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
¿Cómo llenar la mesa?
La tabla debe llenarse en forma diagonal. Para la string abcde, 0….4, se debe ordenar lo siguiente en que se llena la tabla:
Gap = 1: (0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 4) Gap = 2: (0, 2) (1, 3) (2, 4) Gap = 3: (0, 3) (1, 4) Gap = 4: (0, 4)
A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:
Java
// A Java solution for Dynamic Programming
// based program to find minimum number
// insertions needed to make a string
// palindrome
import java.util.Arrays;
class GFG
{
// A DP function to find minimum number
// of insertions
static int findMinInsertionsDP(char str[],
int n)
{
// Create a table of size n*n. table[i][j]
// will store minimum number of insertions
// needed to convert str[i..j] to a palindrome.
int table[][] = new int[n][n];
int l, h, gap;
// Fill the table
for (gap = 1; gap < n; ++gap)
for (l = 0, h = gap; h < n; ++l, ++h)
table[l][h] = (str[l] == str[h])?
table[l+1][h-1] :
(Integer.min(table[l][h-1],
table[l+1][h]) + 1);
// Return minimum number of insertions
// for str[0..n-1]
return table[0][n-1];
}
// Driver code
public static void main(String args[])
{
String str = "geeks";
System.out.println(
findMinInsertionsDP(str.toCharArray(),
str.length()));
}
}
// This code is contributed by Sumit Ghosh
Producción:
3
Complejidad temporal: O(N^2)
Espacio auxiliar: O(N^2)
Otra solución de programación dinámica (variación del problema de la subsecuencia común más larga)
El problema de encontrar inserciones mínimas también se puede resolver utilizando el problema de la subsecuencia común más larga (LCS) . Si averiguamos el LCS de string y su reverso, sabemos cuántos caracteres como máximo pueden formar un palíndromo. Necesitamos insertar los caracteres restantes. Los siguientes son los pasos.
- Encuentre la longitud de LCS de la string de entrada y su reverso. Sea la longitud ‘l’.
- El número mínimo de inserciones necesarias es la longitud de la string de entrada menos ‘l’.
A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:
Java
// An LCS based Java program to find minimum
// number insertions needed to make a string
// palindrome
class GFG
{
/* Returns length of LCS for X[0..m-1],
Y[0..n-1]. See http://goo.gl/bHQVP for
details of this function */
static int lcs(String X, String Y,
int m, int n)
{
int L[][] = new int[m+1][n+1];
int i, j;
/* Following steps build L[m+1][n+1] in
bottom up fashion. Note that L[i][j]
contains length of LCS of X[0..i-1]
and Y[0..j-1] */
for (i = 0; i <= m; i++)
{
for (j = 0; j <= n; j++)
{
if (i == 0 || j == 0)
L[i][j] = 0;
else if (X.charAt(i-1) ==
Y.charAt(j-1))
L[i][j] = L[i-1][j-1] + 1;
else
L[i][j] = Integer.max(L[i-1][j],
L[i][j-1]);
}
}
/* L[m][n] contains length of LCS for
X[0..n-1] and Y[0..m-1] */
return L[m][n];
}
// LCS based function to find minimum number
// of insertions
static int findMinInsertionsLCS(String str,
int n)
{
// Using StringBuffer to reverse a String
StringBuffer sb = new StringBuffer(str);
sb.reverse();
String revString = sb.toString();
// The output is length of string minus
// length of lcs of str and it reverse
return (n - lcs(str, revString , n, n));
}
// Driver program to test above functions
public static void main(String args[])
{
String str = "geeks";
System.out.println(
findMinInsertionsLCS(str, str.length()));
}
}
// This code is contributed by Sumit Ghosh
Producción:
3
Complejidad temporal: O(N^2)
Espacio auxiliar : O(N^2)
Consulte el artículo completo sobre Inserciones mínimas para formar un palíndromo | DP-28 para más detalles!
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Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA