Ley de circuitos de Ampere y problemas sobre ella

André-Marie Ampere, un físico francés, propuso la Ley de circuitos de Ampere . Ampere nació en Lyon, Francia, el 20 de enero de 1775. Su padre lo educó en casa y desde muy joven mostró afinidad por las matemáticas. Ampere fue un matemático y físico mejor conocido por su trabajo sobre electrodinámica, la Ley de Ampere y la confirmación y ampliación del trabajo de Oersted sobre la relación entre la electricidad y el magnetismo. 

También fue el inventor de la aguja astática, que es un componente clave del galvanómetro astático moderno. Fue el primero en demostrar que se forma un campo magnético cuando dos cables paralelos se cargan con electricidad. Es ampliamente considerado como uno de los pioneros en el campo de la electromagnética. El ‘amperio’, una unidad de corriente eléctrica, lleva su nombre.

Ley del circuito de Ampere

“Alrededor de cada curva cerrada, la integral de línea del campo magnético B es igual a μ ₀ veces la corriente neta I que atraviesa la región contenida por la curva”.

es decir 

∮B’dl’ = μ ₀ ∑i = μ ₀ (i ₁ +i ₃ –i ₂ )

dónde,

μ ₀ denota la permeabilidad del espacio vacío y B denota el campo magnético en una ubicación en el límite de la superficie que forma un ángulo ” con el elemento de longitud ‘dl’.

El ‘bucle amperiano’ también se conoce como la suma de todos los productos B’dl’ en todo el bucle .

Nota:

1. (i ₁ +i ₃ –i ₂ ) es la corriente total que cruza el lazo anterior. Cualquier corriente más allá de la región no se incluye en la corriente neta, pero debemos incluir el campo magnético debido a todas las corrientes al calcular B’dl’ (tanto dentro como fuera de las corrientes de bucle)
2. Convención de signos: (corriente de salida positiva, corriente de entrada negativa)
3. Esta regla solo se aplica a corrientes estables. Esta ley se mantiene independientemente del tamaño y la forma de la ruta cerrada que encierra la corriente (bucle amperiano).
4. La frase B’dl’=0 no implica que el campo magnético B sea cero en todas partes a lo largo del camino, pero sí implica que no circula corriente neta a través de él.
5. La dirección del camino cerrado es en el sentido de las agujas del reloj cuando la corriente se aleja del observador. La ruta cerrada es en sentido antihorario cuando la corriente fluye en la dirección del observador.

Forma alternativa de la ley circuital de Ampere

Lo sabemos,

∮B’dl’=μ ₀ ∑i=μ ₀ (i ₁ +i ₃ –i ₂ ) 

Usando B’=μ ₀ H’ (donde H= campo magnético)

∮B’dl’=μ ₀ ∑i=μ ₀ (i ₁ +i ₃ –i ₂ )

∮μ ₀ H’.dl’=μ ₀ Σi 

∮H’.dl’=Σi 

Inconsistencia de la Ley de Circuitos de Ampere

La Ley de Ampere solo es aplicable para corriente constante o cuando el campo eléctrico no varía con el tiempo, según James Clerk Maxwell. Considere un capacitor de placas paralelas que se carga con una batería para demostrar la discrepancia. La corriente variable en el tiempo viaja a través de los cables conectados durante la carga.

Aplicando la Ley de Ampere para el bucle l ₁ y l ₂

Para bucle 1− ∮l ₁ B’⋅dl’=μ ₀ i

Para loop 2− ∮l ₂ B’⋅dl’=0 (i=0 entre las placas).

Sin embargo, se observa que existe un campo magnético entre las placas cuando se cargan o descargan en la práctica. Como resultado, la Ley de Ampere falla.

es decir

∮l ₁ B’⋅dl’≠μ ₀ i.

Ley Circuital de Ampere Modificada o Ampere – Ley Circuital de Maxwell

Durante el proceso de carga, Maxwell planteó la hipótesis de que algo de corriente debe viajar entre las placas del capacitor. Se le dio el término corriente de desplazamiento por él. En consecuencia, la ley actualizada es la siguiente:

∮ B’⋅dl’=μ ₀ (i _c +i _d ) 

o 

∮B’⋅dl’=μ ₀ (i _c +ε ₀ x dϕ _E /dt)

dónde;

i _c = Corriente de conducción = corriente debida al flujo de cargas en un conductor y

i _d = Corriente de desplazamiento =ε0 x dϕ _E /dt= corriente debida al cambio de campo eléctrico entre las placas del capacitor.

Nota:

• La magnitud de la corriente de desplazamiento (i _d ) es igual al tamaño de la corriente de conducción (i _c ).
• El total de ic e id en un circuito siempre es continuo, incluso si no lo son.

Aplicación de la Ley de Circuitos de Ampere

Se aplica la ley de Ampere.

• Se debe determinar el campo magnético producido por un alambre cilíndrico.
• Se debe determinar el campo magnético producido por una hoja sin fin que transporta electricidad.
• Se debe determinar el campo magnético dentro de un solenoide y un toroide.
• Se debe determinar el campo magnético dentro de un conductor.
• Determinar las fuerzas que existen entre conductores portadores de corriente.

Problemas de muestra

Problema 1: un solenoide largo tiene 200 vueltas por cm y transporta una corriente de 2,5 A. ¿Cuál es el campo magnético en su centro?

Solución:

B=μ ₀ ni

=4π×10 ^–7 ×200/10 ^–2 ×2.5

=6,28×10 ^–2 Wb/ m2 ^.

Problema 2: El radio promedio de un toroide hecho sobre un anillo de material no magnético es de 0.1m y tiene 500 vueltas. Si lleva una corriente de 0.5 A, ¿cuál es el campo magnético producido a lo largo de su eje circular dentro del toroide?

Solución:

B=μ0ni; donde n=N/2πR

∴B=4π×10 ^–7 ×500/(2π×0.1)×0.5

=5×10 ^–4 T.

Problema 3: Para el solenoide que se muestra en la figura, ¿cuál es el campo magnético en el punto P?

Solución:

B=μ ₀ /4π x 2πni(senα+senβ)  

De la figura α=(90 ^o –30 ^o )=60 ^o y β=(90 ^o –60 ^o )=30 ^o

∴B=μ ₀ ni/2 x (sen60 ^o +sen30 ^o )

=μ ₀ ni/4(√3+1).

Problema 4: La figura muestra la vista de la sección transversal del conductor cilíndrico hueco con radio interior R y radio exterior 2R, un cilindro transporta corriente uniformemente distribuida a lo largo de su eje. ¿Cuál será la inducción magnética en el punto P a una distancia de 3R/2 del eje del cilindro?

Solución:

Usando B=μ ₀ i/2πr x (r ² –a ² /b ² –a ² ), aquí r=3R/2, a=R, b=2R

B=μ ₀ i/2π(3R/2)×[(3R/2)–R ² /(2R) ² –R ² ]

=5⋅μ ₀ i/36πr

Problema 5: ¿Cuál es la fuerza del campo magnético en una ubicación en el eje de un tubo infinitamente largo, recto y de pared delgada que transporta corriente I?

Solución:

Debido a que el tubo es hueco por dentro y el bucle amperiano no lleva corriente, el campo magnético es cero.