Ingeniería Matemática – Derivadas Parciales

Una función es como una máquina que toma alguna entrada y da una única salida. Por ejemplo , y = f(x) es una función en ‘x’. Aquí, decimos que ‘x’ es la variable independiente e ‘y’ es la variable dependiente ya que el valor de ‘y’ depende de ‘x’.

Algunos ejemplos de funciones son:

f(x) = x ² + 3 es una función algebraica.
e ^x es la función exponencial.
sen(x), cos(x), tan(x),…etc. son todas funciones trigonométricas.

Ahora bien, todas estas funciones son funciones de una sola variable, es decir, solo hay una variable independiente.

Para entender el concepto de derivada parcial, primero debemos ver qué significa una función en dos variables.
Considere una función de la forma z = f(x,y) donde ‘x’ e ‘y’ son las variables independientes y ‘z’ es la variable dependiente. Esta función se llama función de dos variables. Del mismo modo, también se pueden definir funciones de varias variables (es decir, con más de 2 variables independientes).

Algunos ejemplos de funciones multivariables o funciones de varias variables son:

1. f(x,y) = x2 ⁺ y

2. f(x,y,z) = x-3y+4z

Visualicemos este concepto a través de un gráfico. Primero consideramos una función de una sola variable f(x) = x ² .

Gráfica de f(x) = x^2

A diferencia de las funciones de una sola variable, no podemos visualizar funciones de múltiples variables como un gráfico 2-D. Para ello, lo trazamos en el plano 3-D. Por ejemplo, considere la gráfica de f(x,y) = x ² +y ²

Gráfico para f(x,y) = x^2 + y^2

Para funciones de varias variables definimos el límite de la siguiente manera:

Esto significa encontrar el límite de f(x) cuando ‘x’ tiende a ‘a’ y ‘y’ tiende a ‘b’.

De manera similar, las definiciones de continuidad y diferenciabilidad pueden extenderse a partir de definiciones para funciones de una sola variable.

Recuerde que la derivada de una función de una sola variable y=f(x) se define como: f'(x) = ` $\frac{dy}{dx}$

Para una función z = f(x,y) de dos variables, definimos la derivada como: $\frac{\partial z}{\partial x}$

Esto significa calcular la derivada de la función ‘z’ con respecto a ‘x’ manteniendo constante ‘y’. De manera similar, podemos calcular la derivada de ‘z’ con respecto a ‘y’ manteniendo ‘x’ tan constante como $\frac{\partial z}{\partial y}$

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Como sabemos, para funciones de una sola variable, la derivada se calcula como la pendiente de la tangente que pasa por la curva. De manera similar, podemos entender la interpretación geométrica de una derivada parcial de una función multivariable.

Considere una función de dos variables, z = f(x,y) en el plano tridimensional y deje que un plano y=b pase por la curva f(x,y).

Ahora, dibujamos otra curva f(x,b) sobre z que es perpendicular al plano y=b. Considere dos puntos arbitrarios P,R en esta curva y dibuje la secante que pasa por estos puntos.

La pendiente de esta secante se calcula utilizando los primeros principios de la siguiente manera:

$m = \frac{Δz}{Δx} = \frac{f(x+Δx,b)-f(a,b)}{Δx}$

A medida que los dos puntos se acercan, la diferencia Δx se aproxima a 0 y la calculamos en forma de límite: $\lim_{Δx\to0} \frac{Δz}{Δx} = \frac{f(a+Δx,b)-f(a,b)}{Δx}$

Este límite es la derivada parcial de ‘z’ con respecto a ‘x’ al tratar ‘y’ como constante, es decir

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{f(a+Δx,b)-f(a,b)}{Δx}$

Cálculo de derivadas parciales de una función dada.

Pasos para calcular la derivada parcial de una función dada:

Considere z = f(x,y).
Calcule la derivada parcial con respecto a ‘x’, es decir $\frac{\partial z}{\partial x}$ , considerando ‘y’ como constante y diferencie la función con respecto a ‘x’.
Calcule la derivada parcial con respecto a ‘y’, es decir $\frac{\partial z}{\partial y}$ , considerando ‘x’ como constante y diferencie la función con respecto a ‘y’.

Ejemplo : $z = x^2 + y^2 + 3xy$

Aquí, para la función dada, calculamos las dos derivadas parciales de la siguiente manera:

Caso 1 : Diferenciar con respecto a ‘x’ tratando a ‘y’ como constante, es decir $\frac{\partial z }{\partial x}$

Diferenciando ‘z’ con ‘x’ tratando ‘y’ constante

Caso 2 : Diferenciar con respecto a ‘y’ tratando a ‘x’ como constante, es decir $\frac{\partial z }{\partial y}$

Diferenciando ‘z’ con ‘y’ tratando ‘x’ constante

Derivadas parciales de segundo orden

Similar al cálculo de derivadas de segundo orden para funciones de una sola variable, podemos calcular lo mismo para funciones de varias variables.

Para un ejemplo, consideramos la misma función $z = x^2 + y^2 + 3xy$ .

Caso 1 : Derivamos de $\frac{\partial z}{\partial x}$ nuevo con respecto a ‘x’

Caso 2 : Derivamos $\frac{\partial z}{\partial y}$ de nuevo con respecto a ‘y’

Caso 3 : Derivamos de $\frac{\partial z}{\partial x}$ nuevo con respecto a ‘y’

Caso 4 : Derivamos de $\frac{\partial z}{\partial y}$ nuevo con respecto a ‘x’

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por shashanksamavedula1999 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Cálculo de derivadas parciales de una función dada.

Derivadas parciales de segundo orden

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