Programa C Para Encontrar Inserciones Mínimas Para Formar Un Palíndromo | DP-28

Dada la string str , la tarea es encontrar la cantidad mínima de caracteres que se insertarán para convertirla en un palíndromo.

Antes de continuar, entendamos con algunos ejemplos: 

• ab: el número de inserciones necesarias es 1, es decir, b ab
• aa: el número de inserciones requeridas es 0, es decir, aa
• abcd: el número de inserciones necesarias es 3, es decir , dcb abcd
• abcda: El número de inserciones requeridas es 2, es decir, un dc bcda que es el mismo que el número de inserciones en la substring bcd (¿Por qué?).
• abcde: el número de inserciones necesarias es 4, es decir , edcb abcde

Deje que la string de entrada sea str[l……h] . El problema se puede dividir en tres partes:  

1. Encuentre el número mínimo de inserciones en la substring str[l+1,…….h].
2. Encuentre el número mínimo de inserciones en la substring str[l…….h-1].
3. Encuentre el número mínimo de inserciones en la substring str[l+1……h-1].

Enfoque recursivo : el número mínimo de inserciones en la string str[l…..h] se puede dar como:  

• minInsertions(str[l+1…..h-1]) si str[l] es igual a str[h]
• min(minInsertions(str[l…..h-1]), minInsertions(str[l+1…..h])) + 1 en caso contrario

A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:  

// A Naive recursive program to find minimum 
// number insertions needed to make a string
// palindrome
#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <string.h>
  
// A utility function to find minimum of 
// two numbers
int min(int a, int b)
{  return a < b ? a : b; }
  
// Recursive function to find minimum number 
// of insertions
int findMinInsertions(char str[], 
                      int l, int h)
{
    // Base Cases
    if (l > h) 
        return INT_MAX;
  
    if (l == h) 
        return 0;
  
    if (l == h - 1) 
        return ((str[l] == str[h]) ? 
                 0 : 1);
  
    // Check if the first and last characters 
    // are same. On the basis of the comparison 
    // result, decide which subrpoblem(s) to call
    return (str[l] == str[h])? 
            findMinInsertions(str, l + 1, h - 1):
            (min(findMinInsertions(str, l, h - 1),
             findMinInsertions(str, l + 1, h)) + 1);
}
  
// Driver code
int main()
{
    char str[] = "geeks";
    printf("%d", 
    findMinInsertions(str, 0, 
                      strlen(str)-1));
    return 0;
}

Producción: 

3

Solución basada en programación dinámica: 
si observamos cuidadosamente el enfoque anterior, podemos encontrar que presenta subproblemas superpuestos . 
Supongamos que queremos encontrar el número mínimo de inserciones en la string «abcde»:  

                      abcde
            /       |      
           /        |        
           bcde         abcd       bcd  <- case 3 is discarded as str[l] != str[h]
       /   |          /   |   
      /    |         /    |    
     cde   bcd  cd   bcd abc bc
   / |   / |  /| / | 
de cd d cd bc c………………….

Las substrings en negrita muestran que la recursividad debe terminar y el árbol de recurrencia no puede originarse desde allí. La substring del mismo color indica subproblemas superpuestos .

¿Cómo reutilizar soluciones de subproblemas? La técnica de memorización se utiliza para evitar recordar subproblemas similares. Podemos crear una tabla para almacenar los resultados de los subproblemas para que puedan usarse directamente si se vuelve a encontrar el mismo subproblema.
La siguiente tabla representa los valores almacenados para la string abcde. 

a b c d e
----------
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 
0 0 0 1 2 
0 0 0 0 1 
0 0 0 0 0

¿Cómo llenar la mesa?  
La tabla debe llenarse en forma diagonal. Para la string abcde, 0….4, se debe ordenar lo siguiente en que se llena la tabla:

Gap = 1: (0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 4)

Gap = 2: (0, 2) (1, 3) (2, 4)

Gap = 3: (0, 3) (1, 4)

Gap = 4: (0, 4)

A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior: 

// A Dynamic Programming based program to find
// minimum number insertions needed to make a
// string palindrome
#include <stdio.h>
#include <string.h>
  
// A utility function to find minimum of 
// two integers
int min(int a, int b)
{   return a < b ? a : b;  }
  
// A DP function to find minimum number 
// of insertions
int findMinInsertionsDP(char str[], int n)
{
    // Create a table of size n*n. table[i][j]
    // will store minimum number of insertions 
    // needed to convert str[i..j] to a palindrome.
    int table[n][n], l, h, gap;
  
    // Initialize all table entries as 0
    memset(table, 0, sizeof(table));
  
    // Fill the table
    for (gap = 1; gap < n; ++gap)
        for (l = 0, h = gap; h < n; ++l, ++h)
            table[l][h] = (str[l] == str[h])?
                           table[l + 1][h - 1] :
                          (min(table[l][h - 1], 
                           table[l + 1][h]) + 1);
  
    // Return minimum number of insertions 
    // for str[0..n-1]
    return table[0][n-1];
}
  
// Driver code
int main()
{
    char str[] = "geeks";
    printf("%d", 
    findMinInsertionsDP(str, 
                        strlen(str)));
    return 0;
}

Producción: 

3

Complejidad temporal: O(N^2) 
Espacio auxiliar: O(N^2)

Otra solución de programación dinámica (variación del problema de la subsecuencia común más larga) 
El problema de encontrar inserciones mínimas también se puede resolver utilizando el problema de la subsecuencia común más larga (LCS) . Si averiguamos el LCS de string y su reverso, sabemos cuántos caracteres como máximo pueden formar un palíndromo. Necesitamos insertar los caracteres restantes. Los siguientes son los pasos. 

1. Encuentre la longitud de LCS de la string de entrada y su reverso. Sea la longitud ‘l’.
2. El número mínimo de inserciones necesarias es la longitud de la string de entrada menos ‘l’.

A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:  

// An LCS based program to find minimum number
// insertions needed to make a string palindrome
#include<stdio.h>
#include <string.h>
  
// Utility function to get max of 2 integers 
int max(int a, int b)
{   return (a > b)? a : b; }
  
/* Returns length of LCS for X[0..m-1], Y[0..n-1]. 
   See http://goo.gl/bHQVP for details of this 
   function */
int lcs( char *X, char *Y, int m, int n )
{
   int L[m+1][n+1];
   int i, j;
  
   /* Following steps build L[m+1][n+1] in bottom 
      up fashion. Note that L[i][j] contains length
      of LCS of X[0..i-1] and Y[0..j-1] */
   for (i=0; i<=m; i++)
   {
     for (j=0; j<=n; j++)
     {
       if (i == 0 || j == 0)
         L[i][j] = 0;
  
       else if (X[i-1] == Y[j-1])
         L[i][j] = L[i-1][j-1] + 1;
  
       else
         L[i][j] = max(L[i-1][j], L[i][j-1]);
     }
   }
  
   /* L[m][n] contains length of LCS for 
      X[0..n-1] and Y[0..m-1] */
   return L[m][n];
}
  
// LCS based function to find minimum number 
// of insertions
int findMinInsertionsLCS(char str[], int n)
{
   // Creata another string to store reverse 
   // of 'str'
   char rev[n+1];
   strcpy(rev, str);
   strrev(rev);
  
   // The output is length of string minus length 
   // of lcs of str and it reverse
   return (n - lcs(str, rev, n, n));
}
  
// Driver code
int main()
{
    char str[] = "geeks";
    printf("%d", 
    findMinInsertionsLCS(str, 
                         strlen(str)));
    return 0;
}

Producción: 

3

Complejidad temporal: O(N^2) 
Espacio auxiliar : O(N^2) 

Consulte el artículo completo sobre Inserciones mínimas para formar un palíndromo | DP-28 para más detalles!