Demostrar que (cos θ sec θ)/cot θ = tan θ

La trigonometría es una disciplina de las matemáticas que estudia las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Las funciones trigonométricas, también conocidas como funciones goniométricas, funciones angulares o funciones circulares, son funciones que establecen la relación entre un ángulo y la razón de dos de los lados de un triángulo rectángulo. Las seis funciones trigonométricas principales son seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante.

Los ángulos definidos por las proporciones de las funciones trigonométricas se conocen como ángulos trigonométricos. Los ángulos trigonométricos representan funciones trigonométricas. El valor del ángulo puede estar entre 0 y 360°.

Como se indica en la figura anterior en un triángulo rectángulo:

• Hipotenusa: El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, es el lado más largo en un triángulo rectángulo y opuesto al ángulo de 90°.
• Base: El lado sobre el que se encuentra el ángulo C se conoce como base.
• Perpendicular: Es el lado opuesto al ángulo C en consideración.

Funciones trigonométricas

La trigonometría tiene 6 funciones trigonométricas básicas, son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Ahora veamos las funciones trigonométricas. Las seis funciones trigonométricas son las siguientes,

• seno: Se define como la relación entre la perpendicular y la hipotenusa y se representa como sen θ
• coseno: Se define como la relación entre la base y la hipotenusa y se representa como cos θ
• tangente: Se define como la relación entre el seno y el coseno de un ángulo. Así, la definición de tangente resulta ser la relación entre la perpendicular y la base y se representa como tan θ
• cosecante: Es el recíproco de sen θ y se representa como cosec θ.
• secante: Es el recíproco de cos θ y se representa como sec θ.
• cotangente: Es el recíproco de tan θ y se representa como cot θ.

De acuerdo con la imagen de arriba, las razones trigonométricas son

Sin θ = Perpendicular / Hipotenusa = AB/AC

Coseno θ = Base / Hipotenusa = BC / AC

Tangente θ = Perpendicular / Base = AB / BC

Cosecante θ = Hipotenusa / Perpendicular = AC/AB

Secante θ = Hipotenusa / Base = AC/BC

Cotangente θ = Base / Perpendicular = BC/AB

Identidades recíprocas

Sin θ = 1/ Cosec θ O Cosec θ = 1/ Sin θ

Cos θ = 1/ Sec θ O Sec θ = 1 / Cos θ

Cot θ = 1 / Tan θ O Tan θ = 1 / Cot θ

Cot θ = Cos θ / Sin θ O Tan θ = Sin θ / Cos θ

Tan θ.Cot θ = 1

Valores de razones trigonométricas

	0°	30°	45°	60°	90°
sen θ	0	1/2	1/√2	√3/2	1
cos θ	1	√3/2	1/√2	1/2	0
Bronceado θ	0	1/√3	1	√3	No definida
segundo θ	No definida	2	√2	2/√3	1
Cosec θ	1	2/√3	√2	2	No definida
Cuna θ	No definida	√3	1	1/√3	0

Identidades trigonométricas de ángulos complementarios y suplementarios

• Ángulos Complementarios: Par de ángulos cuya suma es igual a 90°
• Ángulos Suplementarios: Par de ángulos cuya suma es igual a 180°

Las identidades de los ángulos complementarios son

sen (90° – θ) = cos θ

cos (90° – θ) = sen θ

bronceado (90° – θ) = cuna θ

cuna (90° – θ) = tan θ

segundo (90° – θ) = cosegundo θ

cosec (90° – θ) = sec θ

Identidades de ángulos suplementarios

sen (180° – θ) = sen θ

coseno (180° – θ) = – coseno θ

bronceado (180° – θ) = – bronceado θ

cuna (180° – θ) = – cuna θ

segundo (180° – θ) = – segundo θ

cosec (180° – θ) = – cosec θ

Cuadrantes de trigonometría

Demostrar que (cos θ sec θ)/cot θ = tan θ

Solución:

Aquí tenemos cos theta sec theta / cot theta = tan theta 

Por lo tanto { cos θ sec θ }/ cot θ = tan θ

Tomando LHS

cos θ seg θ / cot θ 

podemos escribir cos θ sec θ como 1  

        = (cos θ seg θ )/cot θ

        = 1/cot θ { Cos θ = 1/ Sec θ luego Cos θ Sec θ = 1}

        = tan θ                              { Tan θ = 1 / Cot θ }

Por lo tanto LHS = RHS 

{cos θ sec θ}/ cot θ = tan θ

Por lo tanto probado

Preguntas similares

Pregunta 1: Si A, B y C son ángulos interiores de un triángulo ABC, entonces demuestre que sen [(B ​​+ C)/2] = cos A/2?

Solución:

Aquí usaremos las razones trigonométricas de ángulos complementarios

sen (90° – θ) = cosθ

Como sabemos que para ΔABC,

∠A + ∠B + ∠C = 180° (propiedad de la suma de ángulos del triángulo)

∠B + ∠C = 180° – ∠A

Al dividir ambos lados por 2, obtenemos,

(∠B + ∠C)/2 = (180° – ∠A)/2

(∠B + ∠C)/2 = 90° – ∠A/2

Ahora, aplicando ángulos de pecado en ambos lados:

Por lo tanto

sin {(∠B + ∠C)/2} = sin (90° – ∠A/2) {Ya que, sin (90° – θ) = cos θ}

sen (∠B + ∠C)/2 = cos A/2

Por lo tanto probado

Pregunta 2: Demostrar (1 – sen ² θ) sec ² θ = 1

Solución:

Tenemos (1 – sen ² θ )sec ² θ = 1

tomar LHS 

= (1 – sen ² θ )seg ² θ 

= cos ² θ segundo ² θ { 1 – sen ² θ = cos ² θ }

= cos ² θ (1/cos ² θ) { seg θ = 1 /cos θ o seg ² θ = 1/cos ² θ }

= 1

= lado derecho

Por lo tanto

(1 – sen ² θ )seg ² θ = 1

Por lo tanto probado