Introducción a la lógica booleana

El álgebra booleana es un tipo de álgebra que se crea al operar el sistema binario. En el año 1854, George Boole, matemático inglés, propuso este álgebra. Esta es una variante de la lógica proposicional de Aristóteles que utiliza los símbolos 0 y 1, o Verdadero y Falso. El álgebra booleana se ocupa de las variables binarias y las operaciones lógicas.

Expresión booleana y variables

Una expresión booleana es una expresión que produce un valor booleano cuando se evalúa, verdadero o falso, la única forma de expresar un valor booleano. Mientras que las variables booleanas son variables que almacenan números booleanos. P + Q = R es una frase booleana en la que P, Q, R son variables booleanas que solo pueden almacenar dos valores: 0 y 1. La computadora realiza todas las operaciones utilizando 0 y 1 binarios, ya que la computadora entiende el lenguaje de máquina (0/1 ). La lógica booleana, llamada así por George Boole, es un tipo de álgebra en la que todos los valores se reducen a una de dos posibilidades: 1 o 0. Para comprender de manera efectiva la lógica booleana, primero debemos comprender las reglas de la lógica booleana, así como la verdad. mesa y puertas lógicas.

Tablas de verdad 

Una tabla de verdad representa toda la variedad de combinaciones de valores de entrada y salida de forma tabular. Todas las posibilidades de entrada y salida se muestran en él y, por lo tanto, se mantiene el nombre de tabla de verdad. En problemas lógicos como el álgebra booleana y los circuitos electrónicos, las tablas de verdad se usan comúnmente. T o 1 denota ‘Verdadero’ y F o 0 denota ‘Falso’ en la tabla de verdad.

Ejemplo:

A	B	X = AB
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Puertas lógicas 

Una puerta lógica es un dispositivo virtual o físico que realiza una función booleana. Estos se utilizan para hacer circuitos lógicos. Las puertas lógicas son los componentes principales de cualquier sistema digital. Este circuito eléctrico puede tener solo una salida y 1 o más entradas. La relación entre la entrada y la salida se rige por una lógica específica. AND, OR, NOT gate, etc. son ejemplos de puertas lógicas.

Tipos de puertas lógicas

1. Puerta AND (Producto): Una puerta lógica con dos o más entradas y una sola salida se conoce como puerta AND. Las reglas de multiplicación lógica se utilizan para operar una puerta AND. Una puerta AND puede tener cualquier número de entradas, aunque las más comunes son las puertas AND de dos y tres entradas. Si alguna de las entradas es baja (0), la salida también es baja en esta puerta. Cuando todas las entradas son altas (1), la salida también será alta. 

Circuito lógico:

Mesa de la verdad:

Para la compuerta AND, la salida X es verdadera si y solo si las entradas P y Q son verdaderas. Entonces, la tabla de verdad de la puerta AND es la siguiente:

PAGS	q	X = PQ
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

 

2. Puerta OR (Suma): Una puerta lógica que realiza una operación OR lógica se conoce como puerta OR. Si una o ambas entradas de la puerta son altas, la operación lógica OR produce una salida alta (1). (1). Si ninguna de las entradas es alta, el resultado es una salida baja (0). De la misma manera que una puerta AND puede tener un número ilimitado de sondas de entrada, una puerta OR solo puede tener una sonda de salida. Una puerta OR lógica encuentra el máximo entre dos dígitos binarios.

Circuito lógico:

Mesa de la verdad:

Para la puerta OR, la salida X es verdadera si y solo si alguna de las entradas P o Q es verdadera. Entonces, la tabla de verdad de la puerta OR es la siguiente:

PAGS	q	X = P + Q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

3. Puerta NOT (Complemento): Las puertas NOT inversoras son aquellos dispositivos que toman solo una entrada con un nivel de salida que normalmente está en el nivel lógico 1 y baja a un nivel lógico 0 cuando su única entrada está en el nivel lógico 1, o en en otras palabras, invierten su señal de entrada. La salida de una puerta NOT solo regresa alta, cuando su entrada está en el nivel lógico 0. La salida ~P (~ denota No) de una sola puerta NOT de entrada solo es verdadera cuando la entrada P es falsa o podemos decir, No es cierto. También se llama puerta inversa ya que resulta de la negación de la expresión booleana de entrada.

Circuito lógico:

Mesa de la verdad:

Para la puerta NOT, la salida X es verdadera si y solo si la entrada P es falsa. Entonces, la tabla de verdad de la puerta NOT es la siguiente:

PAGS	~P
T	F
F	T

4. Puerta NAND: una puerta lógica conocida como puerta NAND proporciona una salida baja (0) solo si todas sus entradas son verdaderas y una salida alta (1) de lo contrario. Como resultado, la compuerta NAND es la inversa de una compuerta AND, y su circuito se crea uniendo la compuerta AND y la compuerta NOT. NAND significa compuerta ‘No de AND’ y da como resultado falso solo cuando las entradas P y Q son verdaderas. Las compuertas AND (junto con las compuertas NOR) se conocen como compuertas universales porque son una forma de compuerta lógica que puede implementar cualquier función booleana sin el uso de ningún otro tipo de compuerta. 

Circuito lógico:

Mesa de la verdad:

Para la compuerta NAND, la salida X es falsa si y solo si ambas entradas (es decir, P y Q) son verdaderas. Entonces, la tabla de verdad de la puerta NAND es la siguiente:

PAGS	q	~(PQ)
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	T

 

5. Puerta NOR: Una puerta lógica conocida como puerta NOR proporciona una salida alta (1) solo si todas sus entradas son falsas y una salida baja (0) en caso contrario. Como resultado, la puerta NOR es la inversa de una puerta OR, y su circuito se crea uniendo la puerta OR y la puerta NOT. NOR significa ‘No de OR’ Gate y resulta verdadero solo cuando las entradas P y Q son falsas. 

Circuito lógico:

Mesa de la verdad:

Para la puerta NAND, la salida X es verdadera si y solo si ambas entradas (es decir, P y Q) son falsas. Entonces, la tabla de verdad de la puerta NOR es la siguiente:

PAGS	q	X = ~(P + Q)
T	T	F
T	F	F
F	T	F
F	F	T

6. Puerta XOR: una puerta XOR (también conocida como puerta OR exclusiva) es una puerta lógica digital que realiza una disyunción exclusiva y tiene dos o más entradas y una salida. Solo una de las entradas de una puerta XOR debe ser verdadera para que la salida sea verdadera. La salida de una puerta XOR es falsa si ambas entradas son falsas, o verdadera si ambas entradas son verdaderas. XOR significa puerta ‘OR exclusiva’ y da como resultado verdadero solo cuando cualquiera de las 2 entradas P y Q es verdadera, es decir, P es verdadera o Q es verdadera pero no ambas. 

Circuito lógico:

Mesa de la verdad:

PAGS	q	X = PAG ⊕ Q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

7. Puerta XNOR: Una puerta NOR (también conocida como puerta NOR exclusiva) es una puerta lógica digital que es justo lo contrario de la puerta XOR. Tiene dos o más entradas y una salida. Cuando una de sus dos entradas es verdadera pero no ambas, devolverá falso. XNOR significa puerta ‘NOR exclusiva’ y su resultado es verdadero solo cuando sus entradas P y Q son verdaderas o falsas. 

Circuito lógico:

Mesa de la verdad:

PAGS	q	X = P XNOR Q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Leyes de la lógica booleana

Las siguientes son algunas leyes para la lógica booleana:

Ley	O formulario	Y forma
Ley de Identidad	PAG + 1 = PAG	P.0 = P
Ley idempotente	PAG + PAG = PAG	PP = P
Ley conmutativa	P + Q = Q + P	PQ = QP
Ley nula	1 + PAG = PAG	0.P = P
Ley inversa	P + (~P) = 1	P.(~P) = 0
Ley asociativa	P + (Q + R) = (P + Q) + R	P.(QR) = (PQ).R
Ley distributiva	P + QR = (P + Q). (P + R)	P.(Q + R) = PQ + PR
Ley de Absorción	P + PQ = P	P.(P + Q) = P
Ley de De Morgan	~(P + Q) = (~P).(~Q)	~(PQ) = (~P) + (~Q)

leyes de de morgan

La Ley de De Morgan establece que:

Declaración 1: El complemento del producto (Y) de dos variables booleanas (o expresiones) es igual a la suma (OR) del complemento de cada variable booleana (o expresión).

 ~(PQ) = (~P) + (~Q) 

Prueba:

Declaración: ~(PQ) = (~P) + (~Q) 

La tabla de verdad es:

PAGS	q	(~P)	(~Q)	~(PQ)	(~P)+(~Q)
T	T	F	F	F	F
T	F	F	T	T	T
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

Podemos ver claramente que los valores de verdad para ~(PQ) son iguales a los valores de verdad para (~P) + (~Q), correspondientes a la misma entrada.

Declaración 2: El complemento de la suma (OR) de dos variables (o expresiones) booleanas es igual al producto (Y) del complemento de cada variable (o expresión) booleana.

~(P + Q) = (~P).(~Q)

Prueba 

Declaración: ~(P+Q) = (~P).(~Q)

La tabla de verdad es:

PAGS	q	(~P)	(~Q)	~(P+Q)	(~P).(~Q)
T	T	F	F	F	F
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	F	F
F	F	T	T	T	T

Podemos ver claramente que los valores de verdad para ~(P + Q) son iguales a los valores de verdad para (~P).(~Q), correspondientes a la misma entrada.

Circuitos lógicos 

Un circuito eléctrico en el que podemos dar una o más entradas binarias (asumiendo dos estados, encendido o apagado) y obtenemos una sola salida binaria correspondiente a la entrada de una manera que puede describirse como una función en lógica simbólica. Las puertas AND, OR y NOT son circuitos lógicos básicos que realizan las funciones lógicas AND, OR y NOT, respectivamente. Las computadoras pueden hacer tareas más complicadas con circuitos que con una sola puerta.

Ejemplo: una string de dos puertas lógicas es el circuito más pequeño. Considere el siguiente circuito:

Este circuito lógico es para la expresión booleana: (P + Q).R. 

Aquí, se usa la primera puerta OR: P, Q son la entrada y P + Q es la salida. 

Luego, se usa la puerta AND: (P + Q), R es la entrada y (P + Q). R es la salida.

Entonces la tabla de verdad es:

PAGS	q	R	P + Q	X = (P + Q).R
T	T	T	T	T
T	T	F	T	F
T	F	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	T	T
F	T	F	T	F
F	F	T	F	F
F	F	F	F	F

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1. ¿Qué son las puertas universales?

Solución:

Las puertas universales son puertas lógicas que pueden implementar cualquier función booleana sin necesidad del uso de puertas adicionales. Solo hay dos puertas universales en electrónica digital: 
1. Puerta NAND y 
2. Puerta NOR.

Pregunta 2. Diseña el circuito lógico para: AB + BC

Solución:

Pregunta 3. ¿Cuál será la expresión booleana para el siguiente circuito lógico:

Solución:

X = ~(P + Q).R + S

Pregunta 4. Verifique usando la tabla de verdad: P + PQ = P

Solución:

La tabla de verdad para P + PQ = P

PAGS	q	PQ	P + PQ
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	F
F	F	F	F

En la tabla de verdad, podemos ver que los valores de verdad para P + PQ son exactamente los mismos que para P.