Matemáticas discretas | diagramas hasse

Un diagrama de Hasse es una representación gráfica de la relación de elementos de un conjunto parcialmente ordenado (poset) con una orientación implícita hacia arriba . Se dibuja un punto para cada elemento del conjunto parcialmente ordenado (poset) y se une con el segmento de línea de acuerdo con las siguientes reglas:

Si p<q en la pose, entonces el punto correspondiente a p aparece más bajo en el dibujo que el punto correspondiente a q.
Los dos puntos p y q estarán unidos por un segmento de línea si p está relacionado con q .

Para dibujar un diagrama de Hasse, el conjunto provisto debe ser un poset.
Un poset o conjunto A parcialmente ordenado es un par, (B, $\leq$ ) de un conjunto B cuyos elementos se denominan vértices de A y obedece a las siguientes reglas:

Reflexividad → p $\leq$ p $\forall$ p $\in$ B
Anti-simétrico → p $\leq$ q y q $\leq$ p si p=q
Transitividad → si p $\leq$ q y q $\leq$ r entonces p $\leq$ r

Ejemplo-1: Dibuje el diagrama de Hasse para ({3, 4, 12, 24, 48, 72}, /)

Explicación: primero, de acuerdo con la pregunta anterior, tenemos que encontrar la pose para la divisibilidad.
Sea el conjunto A.
A={(3 $\prec$ 12), (3 $\prec$ 24), (3 $\prec$ 48), (3 $\prec$ 72), (4 $\prec$ 12), (4 $\prec$ 24), (4 $\prec$ 48), (4 $\prec$ 72), ( 12 $\prec$ 24), (12 $\prec$ 48), (12 $\prec$ 72), (24 $\prec$ 48), (24 $\prec$ 72)}
Entonces, ahora el diagrama de Hasse será:

example 1

En el diagrama anterior, 3 y 4 están al mismo nivel porque no están relacionados entre sí y son más pequeños que otros elementos del conjunto. El siguiente elemento sucesor de 3 y 4 es 12, es decir, 12 es divisible tanto por 3 como por 4. Luego, 24 es divisible por 3, 4 y 12. Por lo tanto, se coloca por encima de 12. 24 divide tanto a 48 como a 72, pero 48 no. divide 72. Por lo tanto, 48 y 72 no están unidos.
Podemos ver la transitividad en nuestro diagrama a medida que aumenta el nivel.

Ejemplo-2: Dibuje el diagrama de Hasse para (D $_{12}$ , /)

Explicación: aquí, D $_{12}$ significa un conjunto de números enteros positivos divisores de 12.
Entonces, D $_{12}$ ={1, 2, 3, 4, 6, 12}
poset A = {(1 $\prec$ 2), (1 $\prec$ 3), (1 $\prec$ 4), (1 $\prec$ 6), (1
$\prec$ 12), (2 $\prec$ 4), (2 $\prec$ 6), (2 $\prec$ 12), (3 $\prec$ 6), (3 $\prec$ 12), (4 $\prec$ 12), (6 $\prec$ 12)}
Entonces, ahora el Hasse el diagrama sera-

example 2

En el diagrama anterior, 1 es el único elemento que divide a todos los demás elementos y es el más pequeño. Por lo tanto, se coloca en la parte inferior. Entonces, los elementos de nuestro conjunto son 2 y 3, que no se dividen entre sí, por lo que se colocan al mismo nivel por separado pero divisibles por 1 (ambos unidos por 1). 4 es divisible por 1 y 2 mientras que 6 es divisible por 1, 2 y 3, por lo tanto, 4 está unido por 2 y 6 está unido por 2 y 3. 12 es divisible por todos los elementos, por lo tanto, unido por 4 y 6 no por todos. elementos porque ya hemos unido 4 y 6 con elementos más pequeños en consecuencia.

Para diagrama de Hasse normal:

El elemento máximo es un elemento de un POSET que no es menor que cualquier otro elemento del POSET. O podemos decir que es un elemento que no está relacionado con ningún otro elemento. Elementos principales del Diagrama de Hasse.
Ejemplo: en el diagrama anterior, podemos decir que 4,2,3,6,1 están relacionados con 12 (ordenados por división, por ejemplo, (4, /)), pero 12 no está relacionado con ningún otro. (Ya que el Diagrama de Hasse es direccional hacia arriba).
Elemento mínimo es un elemento de un POSET que no es mayor que ningún otro elemento del POSET. O podemos decir que ningún otro elemento está relacionado con este elemento. Elementos inferiores del Diagrama de Hasse.
Ejemplo: en el diagrama anterior, podemos decir que 1 está relacionado con 2,3,4,6,12 (ordenado por división, por ejemplo, (4, /)) pero ningún elemento está relacionado con 1. (Dado que el diagrama de Hasse es direccional hacia arriba ).
El elemento más grande (si existe) es el elemento que sucede a todos los demás elementos.
El elemento mínimo es el elemento que precede a todos los demás elementos.

Nota: los elementos mayor y menor en el diagrama de Hasse son solo uno.

En el Ejemplo-1,
los elementos máximos son 48 y 72 ya que suceden a todos los elementos.
Los elementos mínimos son 3 y 4 ya que preceden a todos los elementos.
El elemento más grande no existe ya que no hay ningún elemento que suceda a todos los elementos.
El elemento mínimo no existe ya que no hay ningún elemento que preceda a todos los elementos.

En el Ejemplo-2,
el elemento Máximo y Mayor es 12 y el elemento Mínimo y Mínimo es 1.

NOTA: Un elemento puede ser máximo y mínimo

Ejemplo-

Aquí a,b,c son tanto máximos como mínimos.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por Deepanshi_Mittal y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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