Si y = f(x) es una función de valor real definida en [a, b] tal que
- f(x) es continua en [a, b]
- f(x) es diferenciable en (a, b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(b) – f(a) = f'(c)(b – a)
También se llama teorema del valor medio de Lagrange o teorema del valor medio extendido.
Significado geométrico
Dibujamos la curva y = f(x) y tomamos los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b)) en la curva, luego
Pendiente de una cuerda AB = (f(b) – f(a))/(b – a)
Ya que,
f'(c) = (f(b) – f(a))/(b – a) (Enunciado del teorema del valor medio)
f'(c) = Pendiente de la cuerda AB
Esto muestra que la tangente a la curva y = f(x) en el punto x = c es paralela a la cuerda AB.
Teorema de Rolle
Si f(a) = f(b) entonces,
existe un número real c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0, este caso especial se llama teorema de Rolle.
El teorema de Rolle establece esencialmente que cualquier función diferencial de valor real que alcanza valores iguales en dos puntos distintos debe tener al menos un punto estacionario en algún lugar entre ellos, que es un punto donde la primera derivada (la pendiente de la línea tangente a la gráfica de una función) es cero.
Significado geométrico
Sea f(x) una función de valor real definida en [a, b] y es continua en [a, b]. Esto significa que podemos dibujar la gráfica de f(x) entre el valor de x = a y x = b también f(x) es diferenciable en (a, b) lo que significa que la gráfica de f(x) tiene una tangente en cada punto de (a, b). Ahora bien, la existencia del número real c ∈ (ab) tal que f'(c) = 0 muestra que la tangente a la curva en x = c tiene pendiente 0, es decir, la tangente es paralela al eje x ya que f(a) = pensión completa).
Ejemplos de problemas sobre el teorema de Rolle
Problema 1: Verifique el Teorema de Rolle para la siguiente función: f (x) = x2 – 5x + 9 en [1, 4]
Solución:
Ya que, f(x) es Polinomio en x
f(x) es continua en [1. 4]
f(x) es diferenciable en (1, 4)
f(1) = 5, f(4) = 42 – 5 * 4 + 9 = 5
Por lo tanto, f(0) = f(4) = 5
Por tanto, se cumplen todas las condiciones del teorema de Rolle.
La derivada de f(x) debería desaparecer para al menos un punto en c en (0, 4). Para obtener el valor de c,
Procedemos de la siguiente manera,
f(x) = x2 – 5x + 9
f'(x) = 2x-5⇢
si x =5/2 entonces f'(x) = 0
Por lo tanto, ∃ c = 5/2 en (1, 4)
sabemos que , 5/2 ∈1, 4)
Por lo tanto, se verifica el teorema de Rolle.
Problema 2: discutir la aplicabilidad del teorema de Rolle para la función f(x) = x 2/3 , x ∈ [-1, 1]
Solución:
f(x) = x 2/3 continua en cada punto de [-1, 1]
Ahora, f(x) = x 2/3
f'(x) = 2/3(x -1/3 )
Como, x ⇢ 0 + f'(x) ⇢ ∞
f'(0) no existe.
f (x) no es derivable en x=0
f (x) no es diferenciable en (-1. 1)
El teorema de Rolle no es aplicable para la función dada.
Teorema del valor medio de Cauchy
Sean f(x) y g(x) las funciones definidas en [a, b] tales que,
f(x) y g(x) ambas son continuas en [a, b]
f(x) y g(x) ambas son diferenciables en (a, b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que
f'(c) {g(b) – g(a)}= g'(c){ f(b) – f(a)}
El caso de que g(a) = g(b) es fácil. Entonces, suponga que g(a) ≠ g(b). Definir
h(x) = f'(x) {g(b) – g(a)}= g'(x){f(b) – f(a)}
Claramente, h(a) = h(b). Aplicando el teorema de Rolle tenemos que existe ac con a < c < b
Tal que h'(x) = f'(c) {g(b) – g(a)}= g'(c){f(b) – f(a)}
Para esta c tenemos que,
f'(c) {g(b) – g(a)} = g'(c){f(b) – f(a)}
El teorema del valor medio clásico es un caso especial del teorema del valor medio de Cauchy.
Es el caso cuando g(x) ≡ x. El teorema del valor medio de Cauchy se puede utilizar para demostrar el teorema de L’Hospital.
Aplicaciones del teorema del valor medio
- El teorema del valor medio es el teorema fundamental del cálculo.
- Interpretación física (como análisis de velocidad).
- Si la derivada es mayor que cero, entonces f es una función estrictamente creciente.
- Series de Taylor y teoría de números.
Función creciente y decreciente
Con la ayuda del teorema del valor medio, podemos encontrar
función creciente
Se dice que la función y = f(x) es una función creciente de x en el intervalo (a, b):
si f'(x) > 0 para ax ∈ (a, b)
Problemas de muestra
Problema 1: Prueba si la siguiente función es creciente o no.
f(x) = x 3 – 3x 2 + 3x – 100, x ∈ R
Solución:
f(x) = x 3 – 3x 2 + 3x – 100, x ∈ R
f'(x) = 3x 2 – 6x + 3
= 3(x – 1) 2
Como (x – 1) 2 siempre es positivo x ≠1
f'(x) >0, para todo x ∈ R.
Por tanto, f(x) es una función creciente, para todo x ∈ R.
Problema 2: Encuentra el valor de x para el cual la función f(x) = x 3 +12x 2 +36x+6, x es creciente.
Solución:
f(x) = x3 + 12×2 + 36x + 6
f'(x) = 3x 2 + 24x + 36 = 3(x + 2)(x + 6)
Ahora, f'(x) > 0, a medida que f(x) crece
3(x + 2)(x + 6) > 0
Caso 1: x + 2 < 0 y x + 6 > 0
x > -2 y x > -6
Caso 2: x + 2 < 0 y x + 6 > 0
x < -2 y x < -6
f(x) = x 3 + 12x 2 + 36x + 6 es creciente si y solo si x < -6 o x > -2
Por lo tanto, x∈ (-∞, -6) o x∈ (-2, ∞)
función decreciente
Se dice que la función y = f(x) es una función decreciente de x en el intervalo (a, b)
Si f'(x) < 0 para ax ∈ (a, b).
Problemas de muestra
Problema 1: Prueba si la función f (x) = 2 – 3x + 3x 2 – x 3 es creciente o decreciente para todo x ∈ R
Solución:
f(x) = 2 – 3x + 3x 2 – x 3
f'(x) = -3 + 6x – 3x 2
= -3(x 2 – 2x + 1)
= -3(x – 1) 2
Como (x – 1) 2 siempre es positivo, x ≠1
f'(x) < 0, para todo x ∈ R.
Por tanto, f(x) es una función decreciente, para todo x ∈ R.
Problema 2: Encuentra el valor de x para el cual la función f(x) = 2x 3 – 9x 2 + 12x + 2, x es decreciente.
Solución:
f(x) = 2x 3 – 9x 2 + 12x + 2,
f'(x) = 6x 2 – 18x + 12
= 6(x-1)(x-2)
Ahora, f'(x) < 0,
Como f(x) es decreciente
6(x-1)(x-2) < 0
Caso 1: (x – 1) < 0 y x – 2 > 0
x < 1 y x > 2 lo cual es absurdo
Caso 2: (x – 1) > 0 y x – 2 < 0
x > 1 y x < 2
1 < x < 2
f(x) = x 3 + 12x 2 + 36x + 6 es decreciente si y solo si x ∈ (1, 2).
Ejemplos de problemas sobre el teorema del valor medio
Problema 1: f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3), x ∈ [0, 4]. Encuentre c si se puede aplicar el teorema del valor medio.
Solución:
f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3),
x ∈ [0, 4]
f(x) = x 3 – 6x 2 + 11x – 6
Como f(x) es Polinomio en x
- f(x) es continua en [0. 4]
- f(x) es diferenciable en (0, 4)
Por lo tanto, se cumplen todas las condiciones del teorema del valor medio.
Para verificar el teorema tenemos que encontrar c ∈ (0, 4) tal que
f'(c) = (f(4) – f(0))/(4 – 0) …(1)
Ahora, f(4) = (4 – 1)(4 – 2)(4 – 3) = 6
f(0) = (0 – 1)(0 – 2)(0 – 3) = – 6 y
f'(x) = 3x 2 – 12x + 11
f'(c) = 3c 2 – 12c + 11
(f(4) – f(0))/(4 – 0) = 3c 2 – 12c + 11 [De 1]
3 = 3c 2 – 12c + 11
3c 2 – 12c + 8 = 0
c = 2 ± 2/√3
Ambos valores de c se encuentran entre 0 y 4.
Problema 2: Verifique el teorema del valor medio de LaGrange para la función f(x) = log(x) en [1, e]
Solución:
f(x) = registro(x)
f(x) es continua en [1, e]
f(x) es diferenciable en (1, e), por lo que se cumplen todas las condiciones del teorema del valor medio.
Queremos encontrar c ∈ (1, e) tal que
f(e) – f(1) = f'(c) {e – 1} … de (1) [Por el teorema del valor medio]
log e -log 1 = f'(c) {e – 1}
1 – 0 = f'(c) {e – 1}
f'(c) = 1/(e – 1) …[2]
Ahora,
f(x) = registro(x)
Por tanto, f'(x) = 1/x
f'(c) = 1/c …[3]
De [2] y [3]
1/(e – 1) = 1/c
Por eso,
c = e – 1 que se encuentra en el intervalo (1, e)
Por lo tanto, se verifica el teorema del valor medio de LaGrange.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por roshanid2017 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA