Funciones inversas y composición de funciones

Funciones inversas:
en matemáticas, se dice que una función, a, es inversa de otra, b, si se da la salida de ba, se devuelve el valor de entrada dado a b. Además, esto debe ser cierto para cada elemento en el codominio de dominio (rango) de b. En otras palabras, suponiendo que x e y son constantes, si b(x) = y y a(y) = x, entonces se dice que la función a es inversa de la función b.

Ejemplo de función inversa:
considere las funciones a(x) = 5x + 2 y b(y) = (y-2)/5. Aquí la función b es una función inversa de a. Podemos ver esto insertando valores en las funciones. Por ejemplo, cuando x es 1, la salida de a es a(1) = 5(1) + 2 = 7. Usar esta salida como y en la función b da b(7) = (7-2)/5 = 1, que fue el valor de entrada a la función a.

Propiedades de las funciones inversas:
se dice que dos funciones f y g son inversas entre sí si y solo si:

• f y g son funciones uno a uno. Las funciones uno a uno asignan cada valor en su dominio a exactamente un valor en el codominio (rango). Un ejemplo de una función Uno a Uno es f(x) = x
• El codominio (rango) de f es el dominio de g y viceversa

Nota: Algunas funciones solo son invertibles para un conjunto de valores específicos en su dominio. En este caso, tanto el rango como el dominio de la función inversa están restringidos solo a esos valores.

Funciones compuestas:
una función compuesta es una función cuya entrada es otra función. Entonces, si tenemos dos funciones A(x), que asigna elementos del conjunto B al conjunto C, y D(x), que asigna elementos del conjunto C al conjunto E, entonces la combinación de estas dos funciones, escrita como DoA , es una función que asigna elementos de B a E, es decir, DoA = D(A(x)).
Por ejemplo, considere las funciones A(x) = 5x + 2 y B(x) = x + 1. La función compuesta AoB = A(B(x)) = 5(x+1) + 2.

Propiedades de las funciones compuestas:
las funciones compuestas poseen las siguientes propiedades:

• Dada la función compuesta fog = f(g(x)) el codominio de g debe ser un subconjunto, es decir subconjunto propio o impropio, del dominio de f
• Las funciones compuestas son asociativas. Dada la función compuesta aoboc , el orden de operación es irrelevante, es decir (aob) oc = ao (boc).
• Las funciones compuestas no son conmutativas. Entonces AoB no es lo mismo que BoA . Usando el ejemplo A(x) = 5x + 2 y B(x) = x + 1 AoB = A(B(x)) = 5(x+1) + 2 mientras que BoA = B(A(x)) = ( 5x + 2) + 1.