Matemáticas | Ley de probabilidad total

Prerrequisito – Variables aleatorias , probabilidad condicional Dados n eventos mutuamente excluyentes A1, A2, …Ak tales que la suma de sus probabilidades sea la unidad y su unión sea el espacio de eventos E, entonces Ai ∩ Aj= NULL, para todo i distinto de j, y

A1 U A2 U ... U Ak = E 

Entonces el Teorema de la Probabilidad Total o Ley de la Probabilidad Total es: 

donde B es un evento arbitrario y P(B/Ai) es la probabilidad condicional de B suponiendo que A ya ocurrió. Prueba – Sean A1, A2, …, Ak eventos disjuntos que forman una partición del espacio muestral y supongamos que P(Ai) > 0, para i = 1, 2, 3….k, . tal que:

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)

Entonces, para cualquier evento B, tenemos,

B = B ∩ E
B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK) 

Como la intersección y la unión son distributivas. Por lo tanto,

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK) 

Dado que todas estas particiones son disjuntas. Entonces tenemos,

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK) 

Es decir, el teorema de la suma de probabilidades para la unión de eventos disjuntos. Uso de la probabilidad condicional

P(B / A) =  P(B ∩ A) / P(A)

O por la regla de la multiplicación que,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A) 

Aquí se dice que los eventos A y B son eventos independientes si P(B|A) = P(B), donde P(A) no es igual a cero(0),

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) 

donde P(B|A) es la probabilidad condicional que da la probabilidad de ocurrencia del evento B cuando el evento A ya ha ocurrido. Por eso,

P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k

Aplicando esta regla anterior obtenemos,

 Esta es la ley de la probabilidad total . La ley de probabilidad total también se conoce como teorema de probabilidad total o ley de alternativas. Nota: la ley de probabilidad total se usa cuando no conoce la probabilidad de un evento, pero sabe su ocurrencia en varios escenarios separados y la probabilidad de cada escenario. Aplicación: se utiliza para la evaluación del denominador en el teorema de Bayes . Ejemplo: extraemos dos cartas de una baraja de cartas barajadas con reemplazo. Calcula la probabilidad de que la segunda carta sea un rey. Explicación –Sea A – represente el evento de obtener un rey en la primera carta. B: representa el evento de que la primera carta no sea un rey. E: representa el evento de que la segunda carta sea un rey. Entonces la probabilidad de que la segunda carta sea un rey o no estará representada por la ley de probabilidad total como:

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) 

Donde, P(E) es la probabilidad de que la segunda carta sea un rey, P(A) es la probabilidad de que la primera carta sea un rey, P(E|A) es la probabilidad de que la segunda carta sea un rey dado que la primera carta es un rey, P(B) es la probabilidad de que la primera carta no sea un rey, P(E|B) es la probabilidad de que la segunda carta sea un rey pero la primera carta extraída no sea un rey. Según pregunta:

P(A) = 4 / 52
P(E|A) = 4 / 52
P(B) = 48 / 52
P(E|B) =  4 / 52 

Por lo tanto,

P(E)
= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)
=(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4  / 52)
= 0.0769230