Velocidad máxima de datos (capacidad del canal) para canales silenciosos y ruidosos

Ya en 1924, un ingeniero de AT&T, Henry Nyquist, se dio cuenta de que incluso un canal perfecto tiene una capacidad de transmisión finita. Derivó una ecuación que expresa la velocidad de datos máxima para un canal sin ruido de ancho de banda finito. En 1948, Claude Shannon llevó el trabajo de Nyquist más allá y lo amplió al caso de un canal sujeto a ruido aleatorio (es decir, termodinámico) (Shannon, 1948). Este artículo es el más importante de toda la teoría de la información.

La tasa de datos gobierna la velocidad de transmisión de datos. Una consideración muy importante en la comunicación de datos es qué tan rápido podemos enviar datos, en bits por segundo, a través de un canal. La velocidad de datos depende de 3 factores: 
 

• El ancho de banda disponible
• Número de niveles en la señal digital
• La calidad del canal – nivel de ruido

Se desarrollaron dos fórmulas teóricas para calcular la tasa de datos: una de Nyquist para un canal sin ruido, otra de Shannon para un canal ruidoso. 
 

1. Canal sin ruido: tasa de bits de Nyquist: 
para un canal sin ruido, la fórmula de tasa de bits de Nyquist define la tasa de bits máxima  teórica
. reconstruido haciendo solo 2 * muestras de ancho de banda (exactas) por segundo. Muestrear la línea más rápido que 2 veces el ancho de banda por segundo no tiene sentido porque los componentes de mayor frecuencia que dicho muestreo podría recuperar ya se han filtrado. Si la señal consta de L niveles discretos, el teorema de Nyquist establece:

BitRate = 2 * Bandwidth * log2(L) bits/sec

En la ecuación anterior, el ancho de banda es el ancho de banda del canal, L es el número de niveles de señal utilizados para representar datos y BitRate es la tasa de bits en bits por segundo. 
El ancho de banda es una cantidad fija, por lo que no se puede cambiar. Por lo tanto, la tasa de datos es directamente proporcional al número de niveles de señal. 
Nota – El aumento de los niveles de una señal puede reducir la confiabilidad del sistema. 

Ejemplos: 

Entrada 1: Considere un canal sin ruido con un ancho de banda de 3000 Hz que transmite una señal con dos niveles de señal. ¿Cuál puede ser la tasa de bits máxima? 
Salida 1: Tasa de bits = 2 * 3000 * registro ₂ (2) = 6000 bps 

Input2: Necesitamos enviar 265 kbps a través de un canal sin ruido con un ancho de banda de 20 kHz. ¿Cuántos niveles de señal necesitamos? 
Salida 2: 265000 = 2 * 20000 * log ₂ (L) 
log ₂ (L) = 6,625 
L = 2 ^6,625 = 98,7 niveles 

La cantidad de ruido térmico presente se mide por la relación entre la potencia de la señal y la potencia del ruido, denominada SNR (relación señal-ruido).

2. Canal ruidoso: capacidad de Shannon: 
en realidad, no podemos tener un canal silencioso; el canal es siempre ruidoso. Se utiliza la capacidad de Shannon para determinar la tasa de datos teórica más alta para un canal ruidoso: 
 

Capacity = bandwidth * log2(1 + SNR) bits/sec

En la ecuación anterior, el ancho de banda es el ancho de banda del canal, la SNR es la relación señal/ruido y la capacidad es la capacidad del canal en bits por segundo. 
El ancho de banda es una cantidad fija, por lo que no se puede cambiar. Por tanto, la capacidad del canal es directamente proporcional a la potencia de la señal, como SNR = (Potencia de la señal) / (potencia del ruido). 
La relación señal-ruido (S/N) generalmente se expresa en decibelios (dB) dada por la fórmula: 
 

10 * log10(S/N)

Entonces, por ejemplo, una relación señal-ruido de 1000 se expresa comúnmente como: 
 

10 * log10(1000) = 30 dB. 

Esto nos dice las mejores capacidades que pueden tener los canales reales. Por ejemplo, ADSL (Línea de Abonado Digital Asimétrica), que proporciona acceso a Internet a través de líneas telefónicas normales, utiliza un ancho de banda de alrededor de 1 MHz. la SNR depende mucho de la distancia de la casa a la central telefónica, y una SNR de alrededor de 40 dB para líneas cortas de 1 a 2 km es muy buena. con estas características, el canal nunca puede transmitir mucho más de 13 Mbps, sin importar cuántos o pocos niveles de señales se utilicen y sin importar la frecuencia o la frecuencia con que se tomen muestras.

Ejemplos: 

Input1: una línea telefónica normalmente tiene un ancho de banda de 3000 Hz (300 a 3300 Hz) asignado para la comunicación de datos. El SNR suele ser 3162. ¿Cuál será la capacidad de este canal? 
Salida 1: C = 3000 * registro ₂ (1 + SNR) = 3000 * 11,62 = 34860 ​​bps 

Input2: la SNR a menudo se da en decibelios. Suponga que SNR (dB) es 36 y el ancho de banda del canal es 2 MHz. Calcular la capacidad teórica del canal. 
Salida 2: SNR (dB) = 10 * log ₁₀ (SNR) 
SNR = 10 ^{(SNR (dB)/10)} 
SNR = 10 ^3,6 = 3981 

Por lo tanto, C = 2 * 10 ⁶ * log ₂ (3982) = 24 MHz 
 

Referencia: