Matemáticas | Introducción a la array

Una array representa una colección de números dispuestos en un orden de filas y columnas. Es necesario encerrar los elementos de una array entre paréntesis o corchetes.
A continuación se muestra una array con 9 elementos.

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$

Esta Array [M] tiene 3 filas y 3 columnas. Se puede hacer referencia a cada elemento de la array [M] por su número de fila y columna. Por ejemplo, un ₂₃ = 6

Orden de una array:
el orden de una array se define en términos de su número de filas y columnas.
Orden de una array = No. de filas × No. de columnas
Por lo tanto Matrix [M] es una array de orden 3 × 3.

Transpuesta de una array:
La transpuesta [M] ^T de una array mxn [M] es la array nxm obtenida al intercambiar las filas y columnas de [M].
si A= [a _ij ] mxn , entonces A ^T = [b _ij ] nxm donde b _ij = a _ji

Propiedades de transpuesta de una array:

(UN ^T ) ^T = UN
(A+B) ^T = UN ^T + B ^T
(AB) ^T = B ^T UN ^T

Array singular y no singular:

Array singular: se dice que una array cuadrada es array singular si su determinante es cero, es decir, |A|=0
Array no singular: Se dice que una array cuadrada es array no singular si su determinante es distinto de cero.

Propiedades de la suma y multiplicación de arrays:

A+B = B+A (Conmutativo)
(A+B)+C = A+ (B+C) (Asociativo)
¿AB? BA (no conmutativo)
(AB) C = A (BC) (Asociativo)
A (B+C) = AB+AC (Distributivo)

Array cuadrada: una array cuadrada tiene tantas filas como columnas. es decir, número de filas = número de columnas.
Array simétrica: se dice que una array cuadrada es simétrica si la transpuesta de la array original es igual a su array original. es decir, (A ^T ) = A.
Sesgada simétrica: Una array sesgada simétrica (o antisimétrica o antimétrica[1]) es una array cuadrada cuya transpuesta es igual a su negativo. Es decir, (A ^T ) = -A.

Array diagonal: una array diagonal es una array cuadrada en la que las entradas fuera de la diagonal principal son todas cero. El término generalmente se refiere a arrays diagonales cuadradas.
Array Identidad: Una array cuadrada en la que todos los elementos de la diagonal principal son unos y todos los demás elementos son ceros. La array identidad se denota como I.
Array ortogonal: Se dice que una array es ortogonal si AA ^T = A ^T A = I
Array idempotente: Se dice que una array es idempotente si A ² = A
Array involuntaria: Se dice que una array es Involutario si A ² = I.

Nota: cada array cuadrada se puede expresar de forma única como la suma de una array simétrica y una array asimétrica. A = 1/2 (A ^T + A) + 1/2 (A – A ^T ).

Adjunto de una array cuadrada: El adjunto de una array A es la transpuesta de la array cofactor de A

$\text{If A = }\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}\text{then,}$

$\text{Adj A = Transpose of }\begin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2\\ A_3 & B_3 & C_3 \end{bmatrix}\text{=} \begin{bmatrix} A_1 & A_2 & A_3\\ B_1 & B_2 & B_3\\ C_1 & C_2 & C_3 \end{bmatrix}$

$\text Where, \begin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2\\ A_3 & B_3 & C_3 \end{bmatrix} \text {is cofactor matrix of A}$

Propiedades del Adjunto:

A(Adj A) = (Adj A) A = |A| yo _norte
Adj(AB) = (Adj B).(Adj A)
|Adj A|= |A| ^n-1
Adj(kA) = k ^n-1 Adj(A)
|adj(adj(A))|= |A|^(n-1)^2
adj(adj(A))=|A|^(n-2) * A
Si A = [L,M,N] entonces adj(A) = [MN, LN, LM]
adj(yo) = yo

Donde, “n = número de filas = número de columnas”

Inversa de una array cuadrada:

$A^{-1} = \frac{Adj A}{|A|}$

Aquí |A| no debe ser igual a cero, significa que la array A no debe ser singular.

Propiedades de la inversa:

1. (A ^-1 ) ^-1 = A
2. (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1
3. Sólo una array cuadrada no singular puede tener inversa.

¿Dónde debemos usar la array inversa?

Si tienes un conjunto de ecuaciones simultáneas:

7x + 2y + z = 21
3y – z = 5
-3x + 4y – 2x = -1

Como sabemos cuando AX = B, entonces X = A ^-1 B, entonces calculamos el inverso de A y al multiplicarlo B, podemos obtener los valores de x, y y z.

Rastro de una array: el rastro de una array se denota como tr(A), que se usa solo para una array cuadrada y es igual a la suma de los elementos diagonales de la array. Recuerde que la traza de una array también es igual a la suma del valor propio de la array. Por ejemplo:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \text{ tr(A) = 1+5+9 = 15}$

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Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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