Geometría y Coordenadas

polígonos

Los polígonos son figuras planas formadas por una serie cerrada de segmentos rectilíneos. Ej : Triángulo, Rectángulo, etc. 

Propiedades: 
1. Suma de todos los ángulos de un polígono de n lados = (n-2)π 
2. Suma de todos los ángulos exteriores = 360° 
3. Nº de lados = 360°/ángulo exterior 

Clasificación de polígonos – 
 

triangulos

Un triángulo es un polígono que tiene tres lados. 
Área: 
1. Área = 1/2 x base x altura 
2. Área = √s(sa)(sb)(sc) donde s = a+b+c/2 
3. Área = rs (donde r está dentro del radio ) 
4. Área = 1/2 x producto de dos lados x seno del ángulo 
5. Área = abc/4R donde R = circunradio 

Congruencia de Triángulos: 
1. Congruencia SAS: Si dos lados y un ángulo incluido de un triángulo son iguales a dos lados y un ángulo incluido de otro, los dos triángulos son congruentes. 
2. Congruencia ASA: Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo es igual a dos ángulos y el lado incluido de otro, los triángulos son congruentes. 
3. Congruencia AAS: Si dos ángulos y el lado opuesto a uno de los ángulos es igual a los ángulos y lados correspondientes de otro triángulo, los triángulos son congruentes. 
4. Congruencia SSS: si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes. 
5. Congruencia SSA:Si dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor de un triángulo son iguales a los dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. 

Semejanza de Triángulos: 
1. Semejanza AAA: Si en dos triángulos, los ángulos correspondientes son iguales, entonces los triángulos son semejantes. 
2. Semejanza SSS: si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces son similares. 
3. Semejanza SAS: si en dos triángulos, un par de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos incluidos son iguales, entonces los dos triángulos son similares. 

Triángulos equiláteros: 
 

1. Altura = a√3/2 
2. Área = √3a ² /4 
3. R(radio de circunvalación) = 2h/3 = a/√3 
4. r(en radio) = h/3 = a/2√ 3 
5. En el triángulo equilátero coinciden el ortocentro, el centro, el circuncentro y el baricentro. 

Triángulo isósceles: 
 

Área = b/4√(4a ² – b ² ) 
donde b=base y a=lados iguales 

Términos importantes: 
1. Mediana: Una línea que une el punto medio de un lado de un triángulo con el vértice opuesto se llama radián. 
 

• Una mediana divide un triángulo en dos partes de igual área. 
   
• El punto donde se encuentran las tres medianas se llama baricentro del triángulo. 
   
• El baricentro de un triángulo divide cada mediana en razón 2:1. 
   

2. Altitud: Se llama altitud a la perpendicular trazada desde cualquier vértice hacia el lado opuesto. 
 

• El punto donde todas las alturas se encuentran en un punto se llama ortocentro del triángulo. 
   

3. Bisectriz perpendicular: Una línea que es perpendicular a un lado y lo biseca es la bisectriz perpendicular del lado. 
 

• El punto en el que se unen las mediatrices de los lados se llama circuncentro. 
   
• El circuncentro es el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo. 
   

4. Incentrar: 
 

• Las rectas que bisecan los ángulos interiores de un triángulo son las bisectrices de los ángulos de ese triángulo. 
   
• Las bisectrices de los ángulos se encuentran en un punto llamado incentro. 
   
• El ángulo formado por cualquier lado en el incentro es siempre 90° mayor que la mitad del ángulo opuesto al lado. 
   

tangentes:

1. La longitud de las tangentes comunes directas es 
= √[(Distancia entre sus centros) ² -(r ₁ – r ₂ ) ² ] 
= √[(O ₁ O ₂ ) ² – (r ₁ – r ₂ ) ² ] 

2. La longitud de las tangentes comunes transversales es 
= √[(Distancia entre sus centros) ² -(r ₁ + r ₂ ) ² ] 
= √[(O ₁ O ₂ ) ² – (r ₁ + r ₂ ) ² ] 

Problemas de muestra 

Pregunta 1: Si cada ángulo interior de un polígono regular es de 108°. El número de lados del polígono es 
Solución: Ángulo interior = 108° 
Ángulo exterior = 180 – 108 = 72 
Número de lados del polígono = 360° /ángulo exterior 
= 360° /72 
= 5 

Preguntas 2: La razón de los ángulos del triángulo es 2:3:5. Encuentra el ángulo más pequeño del triángulo. 
Solución: Relación de ángulos 2:3:5 
entonces 2x + 3x + 5x = 180 
10x = 180 
x = 18 
Por lo tanto, el ángulo más pequeño = 18×2 = 36° 

Pregunta 3: Dos medianas AD y BE de ∆ABC intersecan a O en ángulo recto. Si AD = 9 cm y BE = 6 cm, entonces la longitud de BD es 
Solución: 
 

O es el baricentro que divide la mediana en 2:1. 
Entonces, AO:OD = 2:1 
AD = 3 unidades -> 9 cm 
1 unidad -> 3 cm 
Entonces, OD = 3 cm 
BE = 3 unidades -> 6cm 
Entonces, BO = 4 cm 
∆BOD es un triángulo rectángulo. 
BD ² = BO ² + OD ² 
BD ² = (4) ² + (3) ² 
BD ² = 16 + 9 = 25 
BD = 5 cm 

Pregunta 4: El lado AB de un paralelogramo ABCD se extiende a E de tal manera que BE = AB, DE interseca a BC en Q. El punto Q divide a BC en la razón 
Solución : Acc. preguntar 
 

anuncio || BC y AB || DC 
∠1 = ∠2 (Ángulo alterno correspondiente) 
∠3 = ∠4 (Ángulo alterno correspondiente) 
y ∠BEQ es común 
Por la propiedad AAA ambos son similares ∆EQB ∼ ∆EDA 
Entonces, EB/EA = EQ/ED = QB/AD 
AD=BC & EA = 2EB 
entonces 1/2 = QB/BC 
=> BQ = QC 
Por lo tanto, Q divide a BC en razón 1:1. 

Pregunta 5: En un ∆ABC, AB=AC y BA se produce a D tal que AC=AD. Entonces el ∠BCD es 
Solución: Acc. preguntar 
 

ABC es un triángulo isósceles. 
=> ∠C = ∠B = θ 
=> ∠CAD = ∠C+ ∠B = 2θ (Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos). 
AC=AD Entonces, ∆ADC también es un triángulo isósceles. 
En ∆CAD, ∠A + ∠C+ ∠D = 180° 
2∠C = 180° – 2θ (∠C = ∠D) 
∠C = 90° – θ 
∠BCD = θ + 90° – θ 
∠BCD = 90 ° 

Pregunta 6: Si O es el circuncentro de ∆PQR, y ∠QOR = 110°, ∠OPR= 25°, entonces el ángulo ∠PRQ es 
Solución : 
 

Si O es el circuncentro entonces OP=OR=OQ. 
∠OPR = 25° 
luego ∠PRO = 25° 
In ∆OQR 
∠OQR + ∠ORQ + ∠QOR = 180° 
2∠ORQ = 180° – 110° 
∠ORQ = 35° 
Entonces, ∠PRQ = ∠PRO + ∠ORQ 
= 25° + 35° 
= 60° 

Pregunta 7: En ∆ABC, DE || AC, D y E son dos puntos en AB y CB respectivamente. Si AB=20 cm y AD = 8 cm, entonces BE : CE es 
Solución : 
 

AB = 20 cm y AD = 8 cm 
DE || AC 
entonces, ∠A = ∠D y ∠C = ∠E 
∠B es común 
Por propiedad AAA, ∆ABC ∼ ∆DBE  por lo
tanto BD/AD = BE/CE 
BE/CE = 12/8 
BE/CE = 3/2 
Por lo tanto , SER : CE = 3:2 

Pregunta 8: El ángulo entre las bisectrices internas de dos ángulos de un triángulo ∠B y ∠C es 110°, entonces ∠A es 
Solución: 
 

Las bisectrices internas de los ángulos se intersecan en Inccentro. 
∠BIC = 110° 
El ángulo formado por cualquier lado en el centro es siempre 90° más que la mitad del ángulo opuesto al lado. Entonces, 
∠BIC = 90° + 1/2∠A 
1/2∠A = 110° – 90° 
∠A = 20×2 = 40° 

Pregunta 9: La distancia entre dos cuerdas paralelas de 8 cm de longitud y cada una en un círculo de 10 cm de diámetro es 
Solución: 
 

AB = CD = 8 cm de 
radio = D/2 = 10/2 = 5 cm 
In ∆OMB 
OB ² =OM ² + MB ² 
5 ² = OM ² + 4 ² 
OM ² = 25 – 16 
OM = 3 cm 
MN = 2 x OM = 2 x 3 = 6 cm 

Pregunta 10: El radio de dos círculos concéntricos es de 12 cm y 13 cm. Si la cuerda del círculo mayor es tangente al círculo menor, entonces la longitud de esa cuerda es: 
Solución: Acc. preguntar 
 

AO = 13 cm y OD = 12 cm 
In ∆AOD 
AO ² = DO ² + AD ² 
13 ² = 12 ² + AD ² 
AD ² = 169 – 144 
AD = 5 cm 
AB = 2xAD = 10 cm 

Pregunta 11: Se dibujan dos tangentes en los extremos del diámetro AB de un círculo con centro O. Si una tangente al círculo en el punto C interseca a las otras dos tangentes en Q y R, entonces la medida del ∠QOR es 
Solución : Cuenta preguntar 
 

En ∆OCR y ∆RBO 
OC = OB (radio) 
RC = RB (tangente del mismo punto) 
PR es común 
Por propiedad SSS ambos son congruentes ∆OCR ≅ ∆RBO  Del mismo
modo también son congruentes ∆OCQ ≅ ∆QAO 
Entonces ∠COR = ∠ ROB = x 
y ∠AOQ = ∠COQ = y 
2x + 2y = 180° 
x + y = 90° 
∠QOR = 90° 

Pregunta 12: Dos circunferencias iguales cuyos centros son O y O’ se cortan en el punto A y B, OO’= 24 cm y AB = 10 cm entonces el radio de la circunferencia es 
Solución : 
 

AB = 10 cm 
AC = BC = 5 cm 
OC = CO’ = 12 cm 
En triángulo rectángulo ∆ACO 
OA ² = OC ² + AC ² 
OA ² = 12 ² + 5 ² 
OA ² = 144 + 25 
OA = 13 cm 

Pregunta 13: La distancia entre los centros de dos círculos de radios 6 cm y 3 cm es de 15 cm. La longitud de la tangente común transversal a los círculos es: 
Solución: Longitud de la tangente común transversal = √[(Distancia entre sus centros) ² -(r ₁ + r ₂ ) ² ] 
=√[(15) ² -(6 + 3) ² ] 
=√(225 – 81) 
= 12 cm 

Pregunta 14: Si la distancia entre dos puntos (0, -5) y (x, 0) es de 13 unidades, entonces el valor de x es: 
Solución: Sabemos que 
(Distancia) ² =[(x ₂ -x ₁ ) ² + (y ₂ – y ₁ ) ² ] 
(13) ² = [(x ₂ -0) ² + (0 – (-5) ) ² ] 
169 = x ² + 25 
x = 12 unidades