Teorema de Taylor y series de Taylor

El teorema de Taylor se usa para la expansión de la serie infinita, como $sin x, log x$ etc., para que podamos aproximar los valores de estas funciones o polinomios. El teorema de Taylor se utiliza para la aproximación de la función diferenciable en el tiempo k.

Enunciado:
Deje que la (n-1) ^ésima derivada de $f$ ie $f^{(n-1)}$ sea continua en $[a, a+h], f^n$ la nésima derivada existente en $(a, a+h)$ y $p$ sea un entero positivo dado. Entonces existe al menos un número $\theta$ entre 0 y 1 tal que:
$f(a+h)= f(a)+h\frac{f'(a)}{1!}+h^2\frac{f''(a)}{2!}+$ ….. $+\frac{h^{(n-1)}f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}+R_{n}$

donde $R_{n}=\frac{h^n(1-\theta)^{n-p}}{(n-1)!p}f^{n}(a+\theta h)$ y $0<\theta<1$
Poniendo x=a+h o h=xa escribimos la ecuación como:
$f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+\frac{(x-a)^2}{2!} f''(a)+$ ….. $+\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{n-1}(a)+$
$\frac{(x-a)^n(1-\theta)^{n-p}}{(n-1)!p}f(a+\theta(x-a))$
Restos de Taylor R _n después de n términos debido a:
1. Cauchy: simplemente ponemos p=1 en el teorema de Taylor para obtener $R_{n}=\frac{h^n(1-\theta)^{n-1}}{(n-1)!}f^{n}(a+\theta h)$
2. Lagrange: p=n da $R_{n}=\frac{h^n}{n!}f^n(a+\theta h)$

Fórmula de Taylor:
Usando el resto de Lagrange obtenemos la fórmula de Taylor:
$f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+$ ….. $+\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{n-1}(a)+$
$\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a+\theta(x-a))$ donde $0<\theta<1$
As n →∞ si R→0 entonces el último término de la fórmula se convierte en
$\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a)$
Por lo tanto, la fórmula de Taylor se reduce aún más a
$f(x)=f(a)+\sum\frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n$
Esta fórmula se usa ahora para dar la expansión de la serie infinita de f(x) sobre el punto a.

Ejemplo:
Obtener el desarrollo de la serie de Taylor
$f(x)= x^5 + 2x^4 - x^2 + x + 1$
sobre el punto x= -1.

Explicación:
Según la fórmula tenemos a= -1 aquí y se nos proporciona f(x). En primer lugar, necesitamos calcular f(a) y luego calculamos las derivadas de f(x) en un punto dado hasta que se vuelve cero.
$f(-1) = -1+2-1-1+1 = 0$
$f'(x) = 5x^4+8x^3-2x+1, f(-1) = 5-8+2+1 = 0$
$f''(x) = 20x^3+24x^2-2, f''(-1) = -20+24-2=2$
$f'''(x) = 60x^2+48x, f'''(-1) = 60-48=12$
$f''''(x) = 120x+48, f''''(-1) = -120+48=72$
$f'''''(x)=120, f'''''(-1) = 120$
Ahora nos detenemos aquí ya que la próxima derivada será cero. f^n(x)

=0 for n>5

Así, el desarrollo en serie de Taylor de f(x) sobre x= -1 es:
$f(x)= f(a)+\frac{(x-a)}{2!}f'(a)+\frac{(x-a)^2}{3!}f''( a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+$ …..

Sustituyendo los valores calculados por nosotros obtenemos
$f(x)= 0+0+(x+1)^2.\frac{2}{2!}+12\frac{(x+1)^3}{3!}-72\frac{(x+1)^4}{4!}+120\frac{(x+1)^5}{5!}$
$f(x)= (x+1)^2+2(x+1)^3-3(x+1)^4+(x+1)^5$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por mohitg593 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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