¿Cómo hacer cálculo con Python?

El cálculo es una rama de las matemáticas centrada en límites, funciones, derivadas, integrales y series infinitas. Usaremos la biblioteca SymPy para hacer cálculos con python. SymPy es una biblioteca de Python para matemáticas simbólicas. Su objetivo es convertirse en un sistema de álgebra computacional (CAS) con todas las funciones, manteniendo el código lo más simple posible para que sea comprensible y fácilmente extensible. SymPy está escrito completamente en Python.

Instalación:

pip install sympy

Si queremos escribir cualquier expresión simbólica, primero tenemos que declarar sus variables simbólicas. Para hacer esto, podemos usar las siguientes dos funciones:

• sympy.Symbol(): se usa para declarar una sola variable pasando la variable como una string a su parámetro.
• sympy.symbols(): se usa para declarar multivariable pasando las variables como una string en su parámetro. Todas las variables deben estar separadas por un espacio formando una string.

Diferenciación

Podemos diferenciar cualquier expresión simpática usando el método diff(func, var) . El parámetro func denota la expresión sympy a diferenciar y var denota la variable con respecto a la cual debemos derivar.

Ejemplo 1:

# Importing library
import sympy as sym
 
# Declaring variables
x, y, z = sym.symbols('x y z')
 
# expression of which we have to find derivative
exp = x**3 * y + y**3 + z
 
# Differentiating exp with respect to x
derivative1_x = sym.diff(exp, x)
print('derivative w.r.t x: ',
      derivative1_x)
 
# Differentiating exp with respect to y
derivative1_y = sym.diff(exp, y)
print('derivative w.r.t y: ',
      derivative1_y)

Producción: 

derivative w.r.t x:  3*x**2*y
derivative w.r.t y:  x**3 + 3*y**2

También podemos encontrar derivadas superiores utilizando el método diff(func, var, n) . Aquí, el parámetro n denota la n-ésima derivada que se va a encontrar.

Ejemplo 2: 

# Finding second derivative
# of exp with respect to x
derivative2_x = sym.diff(exp, x, 2)
print('second derivative w.r.t. x: ',
      derivative2_x)
 
# Finding second derivative
# of exp with respect to y
derivative2_y = sym.diff(exp, y, 2)
print('second derivative w.r.t. y: ',
      derivative2_y)

Producción: 

second derivative w.r.t. x:  6*x*y
second derivative w.r.t. y:  6*y

Integración

Puede hacer una integración indefinida y definida de funciones especiales y elementales trascendentales a través de la función de integración() . 

Sintaxis para integración indefinida: sympy.integrate(func, var)

Sintaxis para integración definitiva: sympy.integrate(func, (var, lower_limit, upper_limit))

El parámetro func denota la expresión sympy a diferenciar, var denota la variable con respecto a la cual tenemos que diferenciar, lower_limit denota el límite inferior de la integración definida y upper_limit denota el límite superior de la integración definida.

Nota: ∞ en SymPy es oo.

Ejemplo 1: 

# Indefinite integration of cos(x) w.r.t. dx
integral1 = sym.integrate(sym.cos(x), x)
print('indefinite integral of cos(x): ',
      integral1)
 
# definite integration of cos(x) w.r.t. dx between -1 to 1
integral2 = sym.integrate(sym.cos(x), (x, -1, 1))
print('definite integral of cos(x) between -1 to 1: ',
      integral2)
 
# definite integration of exp(-x) w.r.t. dx between 0 to ∞
integral3 = sym.integrate(sym.exp(-x), (x, 0, sym.oo))
print('definite integral of exp(-x) between 0 to ∞: ',
      integral3)

Producción: 

indefinite integral of cos(x):  sin(x)
definite integral of cos(x) between -1 to 1:  2*sin(1)
definite integral of exp(-x) between 0 to ∞:  1

Límites

Puede calcular el límite de una función usando límite (función, variable, punto). Por lo tanto, si desea calcular el límite de f(x) como x->0, emitiría limit(f, x, 0).

Ejemplo: 

# Calculating limit of f(x) = x as x->∞
limit1 = sym.limit(x, x, sym.oo)
print(limit1)
 
# Calculating limit of f(x) = 1/x as x->∞
limit2 = sym.limit(1/x, x, sym.oo)
print(limit2)
 
# Calculating limit of f(x) = sin(x)/x as x->0
limit3 = sym.limit(sym.sin(x)/x, x, 0)
print(limit3)

Producción: 

oo
0
1

Expansión de la serie

También podemos calcular desarrollos de funciones en serie de Taylor alrededor de un punto. Para calcular la expansión de f(x) alrededor del punto x=x ₀ términos de orden x ⁿ , use sympy.series(f, x, x ₀ , n) . x ₀ y n se pueden omitir, en cuyo caso se utilizarán los valores predeterminados x ₀ = 0 y n = 6.

Ejemplo: 

# assign series
series1 = sym.series(sym.cos(x), x)
print(series1)
 
# assign series
series2 = sym.series(1/sym.cos(x), x, 0, 4)
print(series2)

Producción: 

1 - x**2/2 + x**4/24 + O(x**6)
1 + x**2/2 + O(x**4)

El término O(x ⁴ ) u O(x ⁶ ) al final significa que se omiten todos los términos x con una potencia mayor o igual que x ⁴ o x ^{6 .}