Tipos de Conjuntos en Estructura Discreta o Matemáticas Discretas

En este artículo, discutiremos los tipos de conjuntos en estructura discreta o matemáticas discretas. Además, cubriremos los ejemplos. Vamos a discutir uno por uno.

1. Conjunto Parcialmente Ordenado o POSET:
   El Conjunto Parcialmente Ordenado (POSET) consta de conjuntos con tres relaciones binarias de la siguiente manera.
   • Relación reflexiva: una en la que cada elemento se mapea a sí mismo.
   • Relación antisimétrica: si (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R, entonces a=b.
   • Relación Transitiva – Si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R entonces (a, c) ∈ R).

   Ejemplos –
   Sea A un conjunto: A = {1, 2, 3}.

   Question-1 : 
   R1 = { } . 
   Is R1 a POSET?
   

   Respuesta:
   R1 no es un POSET porque R1 no es reflexivo. Si alguna de las tres relaciones no está disponible, entonces no es un POSET.

   Question-2 :
   R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} . 
   Is R2 a POSET?
   

   Respuesta:
   este es un POSET porque R2 es reflexivo, transitivo y antisimétrico.

   Question-3 : 
   R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} . 
   Is R3 a POSET?

   Respuesta:
   esto no es un POSET porque R3 es reflexivo pero no antisimétrico. En realidad es simétrico. Entonces no puede ser un POSET.

2. Conjunto Linealmente Ordenado:
   También se le conoce como String o Conjunto Totalmente Ordenado. Es básicamente un POSET en el que dado cualquier par (x, y) satisface x ≤ y o y ≤ x. O podemos decir que si alguna de las afirmaciones «x<y, y<x, x=y» es correcta (esto también se llama Ley de la tricotomía ), entonces es un conjunto linealmente ordenado.

   Ejemplo:
   un conjunto de números reales con un orden natural ([R, ≤]) es un conjunto ordenado linealmente porque, en primer lugar, es un POSET, y si tomamos dos números reales, por ejemplo (r1, r2) ∈ R, entonces al menos cualquier una de las siguientes tres afirmaciones siempre es verdadera: r1<r2 o r2<r1 o r1=r2. Entonces, es un Conjunto Totalmente o Linealmente Ordenado.

3. Conjuntos ordenados isomorfos:
   Sean (A, ≤) y (B, ≤) dos conjuntos parcialmente ordenados, entonces se dice que son isomorfos si sus «estructuras» son completamente similares.

   Ejemplo:
   Sean dos POSETS, A = P({0, 1}) ordenados por ≤ y B = {1, 2, 3, 6} ordenados por relación de división, son conjuntos ordenados isomorfos.

   Explicación:
   Diagrama de Hasse de POSET A –

   A = { Φ, {0}, {1}, {0, 1} } with subset relation.

   

   Diagrama de Hasse de POSET B –
   

   Si tratamos de definir un mapa.

   f( Φ ) = 1, f( {0} ) = 2, 
   f( {1} ) = 3 and f( {0, 1} ) = 6. 
   So both the sets are isomorphic. 
   Hence, they are Isomorphic Ordered Set.

4. Conjunto bien ordenado:
   un conjunto parcialmente ordenado se denomina conjunto bien ordenado si cada subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo.

   Ejemplo:
   un conjunto de números naturales y operaciones menores que ([N, ≤]), entonces es un conjunto bien ordenado porque, en primer lugar, es un POSET y si tomamos dos números naturales, por ejemplo, n1 y n2 donde n1≤n2. Aquí, n1 es el elemento mínimo. Entonces, es un Conjunto Bien Ordenado.

   Nota –

   • Cualquier conjunto bien ordenado está totalmente ordenado.
   • Cada subconjunto de un conjunto bien ordenado está bien ordenado con el mismo orden.