Algunas demostraciones matemáticas importantes

Introducción: 
Una demostración es un argumento válido que establece la verdad de un enunciado matemático. Una prueba puede usar la hipótesis del teorema, si los hay, los axiomas asumidos como verdaderos y los teoremas probados previamente. Usando estos ingredientes y reglas de inferencia, el paso final de la prueba establece la verdad del enunciado que se prueba. Pero aquí nos centraremos principalmente en pruebas más informales.

Métodos para probar teoremas: 
Para probar un teorema de la forma ∀x ( P(x) –> Q(x) ), nuestro objetivo es mostrar que P(c) –> Q(c) es verdadero, donde c es un elemento arbitrario del dominio, y luego aplicar una generalización universal.

1. Método de prueba directa:
sea ∀x ( P(x) –> Q(x) ), D el dominio. Empezamos eligiendo un miembro arbitrario, digamos a ∈ D. Luego, para ese a, podemos demostrar que,
P(a) –> Q(a) es verdadero.
P(a) es verdadera.
Entonces, por Modus Ponens, Q(a) es verdadera.  
Entonces, por regla de generalización universal (u , G), se sigue que , ∀x ( P(x) –> Q(x) ) es verdadera.

Ejemplos – 

1. Dé una prueba directa del teorema «Si n es un número entero impar, entonces n ² es impar».
   Solución: 
   tenga en cuenta que este teorema establece que ∀n (P(n) –> Q(n)), donde P(n) es «n es un número entero impar» y Q(n) es «n ² es impar». Por la definición de un entero impar, se sigue que n=2k+1, donde k es un entero. Queremos demostrar que n2 es impar. Podemos elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación n=2k+1 para obtener una nueva ecuación que exprese n ² . Cuando hacemos esto, encontramos que n ² =(2k+1) ² =4k ² +4k+1 = 2(2k ²+ 2k) + 1. Por la definición de un entero impar, podemos concluir que n2 es un entero impar (es uno más que el doble de un entero). En consecuencia, hemos probado que si n es un entero impar, entonces n ² es un entero impar.
2. Dé una prueba directa de que si m y n son ambos cuadrados perfectos, entonces nm también es un cuadrado perfecto.
   Solución: 
   suponga que m y n son números enteros impares. Entonces, por definición, m = 2k + 1 para algún entero k y n = 2l + 1 para algún entero l. Nuevamente, tenga en cuenta que hemos usado diferentes números enteros k y l en las definiciones de m y n. Ahora usaremos esto para mostrar que mn también es un número entero impar.
   mn = (2k + 1)(2l + 1) según nuestras definiciones de m y n
   = 4kl + 2k + 2l + 1 expandiendo los corchetes
   = 2(2kl + k + l) + 1, ya que 2 es un factor común.
   Por tanto, hemos demostrado que mn tiene la forma de un entero impar, ya que 2kl + k + l es un entero.

2. Método de prueba indirecta:  
considere la implicación p –> q. Es equivalente a ~q –> ~p.  
Para demostrar que p –> q es verdadero, puedes demostrar que ~q –> ~p. Se llama prueba indirecta o prueba por contraposición.

Ejemplo –

1. Demuestre que si n es un número entero y 3n+2 es impar, entonces n es impar.
   Solución: 
   el primer paso en una prueba por contraposición es suponer que la conclusión del enunciado condicional «Si 3n+2 es impar, entonces n es impar». Es falso; es decir, suponga que n es par. Entonces, por la definición de un entero par, n=2k para algún entero k. Sustituyendo n por 2k, encontramos que 3n+2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k+1). Esto nos dice que 3n+2 es par (porque es un múltiplo de 2), y por lo tanto no es impar. Esta es una negación de la hipótesis del teorema. Como la negación del enunciado condicional implica que la hipótesis es falsa, el enunciado condicional original es verdadero. Nuestra prueba por contraposición tuvo éxito; hemos probado el teorema “Si 3n+2 es impar, entonces n es impar”.
2. Demostrar que si n = ab, donde a y b son enteros positivos, entonces a≤√n o b≤√n .
   Solución: 
   suponga que b > √n y a > √n.
   ab > (√n) . (√n) = n
   Entonces, n ≠ ab.
   Por contraposición, si n=ab, entonces a≤√n o b≤√n .

3. Prueba por contradicción: 
En este caso, suponemos que la conclusión no es verdadera. Entonces llegamos a alguna contradicción.

Ejemplo –

1. Demuestra que √2 es irracional dando prueba por contradicción.
   Solución –
   Supongamos que √2 es un número racional. Entonces podemos escribirlo √2 = a/b donde a, b son números enteros, b no cero.
   Suponemos además que este a/b se simplifica a los términos más bajos, ya que obviamente se puede hacer con cualquier fracción. Note que para que a/b sea en los términos más simples, tanto a como b no pueden ser pares. Uno o ambos deben ser impares. De lo contrario, podríamos simplificar a/b aún más.
   De la igualdad √2 = a/b se sigue que 2 = a ² /b ² , o a ² = 2 · b ² . Entonces el cuadrado de a es un número par, ya que es dos por algo.
   De esto sabemos que a en sí mismo también es un número par. ¿Por qué? Porque no puede ser raro; si a en sí fuera impar, entonces a · a sería impar también. El número impar de veces que un número impar es siempre impar. 
   Bien, si a en sí mismo es un número par, entonces a es 2 veces algún otro número entero. En símbolos, a = 2k donde k es el otro número. No necesitamos saber qué es k; no importará Pronto viene la contradicción.
   Si sustituimos a = 2k en la ecuación original 2 = a ² /b ² , esto es lo que obtenemos:
   2 = (2k) ² /b ²
   2 = 4k ² /b ²
   2*b ² = 4k ²
   b ² = 2k ²
   Esto significa que b² es par, de donde se sigue que b mismo es par. ¡¡¡Y eso es una contradicción!!!
   ¿POR QUÉ es una contradicción? Porque comenzamos todo el proceso asumiendo que a/b se simplificó a términos más bajos, y ahora resulta que a y b serán pares. Terminamos en una contradicción; por lo tanto, nuestra suposición original (que √2 es racional) no es correcta. Por lo tanto, √2 no puede ser racional.
2. Dé una demostración por contradicción del teorema “Si 3n+2 es impar, entonces n es impar”.
   Solución – 
   Sea 3n + 2 impar, pero n no es impar. Entonces n es par y se puede escribir en la forma de 2m para algún número entero m
   3n+2
   =3(2m)+2
   =6m+2
   =2(3m+1)
   ⟹3n+2es par. Lo cual es una contradicción a nuestras suposiciones.
   Por lo tanto, n debe ser impar.
   Por el contrario, sea n impar, entonces n se puede escribir en la forma de 2m + 1 para algún número entero m. Suponemos que 3n + 2 es par.
   3n+2=3(2m+1)+2
   =6m+5=6m+4+1
   =2(3m+2)+1
   ⟹3 n + 2 es impar. Lo cual es una contradicción a nuestras suposiciones.
    Por tanto, si n es impar, 3n + 2 debe ser impar.

Errores en las pruebas: 
se cometen muchos errores comunes al construir pruebas matemáticas. A continuación describiremos brevemente algunos de estos.

Ejemplo: 
1. ¿Qué tiene de malo esta famosa supuesta «prueba» de que 1 = 2?
“Prueba:” Usamos estos pasos, donde a y b son dos números enteros positivos iguales.

No. S.	Paso	Razón
1.	un = segundo	Dado
2.	un 2 = ab	Multiplica ambos lados de (1) por un
3.	a 2 – b 2 = ab – b 2	Restar b 2 de ambos lados de (2)
4	(ab) (a + b) = b (ab)	Factorizar ambos lados de (3)
5.	un + segundo = segundo	Divide ambos lados de (4) entre a – b
6.	2b = segundo	Reemplace a por b en (5) porque a = b y simplifique
7.	2 = 1	Divide ambos lados de (6) por b

Solución:
todos los pasos son válidos excepto uno, el paso 5, donde dividimos ambos lados por (a – b). El error es que (a – b) es igual a cero; la división de ambos lados de una ecuación por la misma cantidad es válida siempre que esta cantidad no sea cero.

2. Suponga que desea probar la afirmación:
Sea a, b, ∈ Z donde a = 1 mod 3 y b = 2 mod 3. Entonces (a + b) = 0 mod 3.

Prueba incorrecta: 
como a = 1 mod 3, hay un entero k en Z tal que a = 3k + 1. Como b = 2 mod 3, podemos escribir b = 3k + 2. Por lo tanto, a + b = (3k + 1) + (3k + 2) = 6k + 3 = 3(2k + 1), entonces (a + b) = 0 mod 3.

El error en la prueba: 
La prueba intentada supone que b = a + 1 ya que b − a = (3k + 2) − (3k + 1) = 1. Por lo tanto, la prueba solo es válida para ese conjunto limitado de opciones para a y b.

Una prueba correcta:
Como a = 1 mod 3, hay un entero k en Z tal que a = 3k+1. Como b = 2 mod 3, hay un entero n en Z tal que b = 3n + 2. Por lo tanto a + b = (3k + 1) + (3n + 2) = 3k + 3n + 3 = 3(k + n + 1), entonces (a + b) = 0 módulo 3