Encuentra la suma de los primeros 50 números naturales

La aritmética es la parte más básica de la teoría de números y la teoría de números trata completamente con números y las operaciones realizadas con números. Las operaciones involucran división, multiplicación, suma, resta, etc. Existen diferentes tipos de números en la teoría de números basados ​​en diferentes características, por ejemplo, números enteros (desde 0 hasta infinito), números naturales (desde 1 hasta infinito) , y así. Aprendamos sobre los números naturales con más detalle,

Los números naturales son los números que se usan para contar y son parte de los números reales. El conjunto de los números naturales incluye únicamente los enteros positivos, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, 6,….∞. En palabras simples, podría expresarse como todos los números enteros positivos excepto el cero. Entonces, primero analicemos los primeros cinco números naturales, que podrían expresarse como ⇢ 1, 2, 3, 4, 5,… Una observación común que podría verse en estos números es que, dado cualquier número, la diferencia entre los números anteriores es constante y unidad.

Entonces se puede afirmar que para un número dado de la serie de números naturales la diferencia común entre los números precedentes es 1 (despreciando el signo).

diferencia común =|ab| =1=|ba|

Donde a y b son números naturales que se preceden.

La segunda observación a notar es si la diferencia común entre dos números en sucesión es 1. Entonces también podría escribirse como un número en términos de otros números como,

 ab = 1

 a=1+b

Donde T(n-1) y T(n) están en sucesión, por lo que para saber el número en una determinada posición, digamos i-ésima, también podemos escribir.

T(n)=T(n-1) +1

 o

T(n+1)=T(n)+1

Por ejemplo, sea T(n) =3

Por lo tanto, 3 = 2+1

1 es el primer número natural y 3 es el tercer número natural, deducida su progresión aritmética y por tanto su forma general de cualquier número natural que es, 

T(n)= (n-1)d +T(1)  

Donde d es la diferencia común entre dos números en sucesión, n representa el número en un n-ésimo lugar en la serie de números naturales y T(1) representa el primer número en la secuencia.

Suma de 50 números naturales

Dado que el enunciado del problema pide la suma de los primeros 50 números naturales y esa es una gran cantidad para calcular, y además los primeros 50 números naturales son en realidad un AP con una diferencia común de 1, encontrar la fórmula generalizada para esto sería mejor. Para encontrar la suma de más de un número natural, tomemos la suma del primer n número natural. Usando la fórmula discutida anteriormente en el artículo, encontraremos el primer número natural n

T(n) = 1+ 2+ 3+ … + norte  

suma T(n) en ambos lados

⇒T(n)+T(n) = 1 + 2 + 3 + … + n +T(n) 

⇒T(n)+T(n) = 1 + 2 + 3 + … + (n-1) + n + n + (n-1) + (n-2) + … + 2 + 1

Ahora, par de términos tales que la suma sea igual a (n+1)

⇒2T(n)= (1 + n) + (2 + n-1) + (3 + n-2) + … + (n-1 + 2) + (n + 1)

Todas las n sumas por pares son iguales a (n+1),

⇒2T(n)= (n+1) + (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) 

⇒2T(n) = n (n+1)

⇒ T(n) = n (n+1) /2 

Así que la fórmula para deducir la suma de los primeros n números naturales. Así que vamos a calcular la suma de los primeros 50 Números Naturales se escribe de la siguiente manera,

T(50) = 50(50+1)/2

T(50)=25×51

T(50)=1275

Y por lo tanto, la suma de los primeros 50 números naturales es 1275.

Problemas similares

Pregunta 1: ¿Cuál es la diferencia entre veinte y diez números naturales?

Solución:

Primero calculemos la suma del primero de diez números naturales usando la fórmula 

T(n) = n (n+1) /2 

Por lo tanto n=10,

⇒ T(10) = 10(10+1)/2

⇒ T(10) = (10×11)/2

⇒ T(10) = 110/2

⇒ T(10) = 55

Ahora para n = 20,

⇒ T(20) = 20(20+1)/2

⇒ T(20) = (20×21)/2

⇒ T(20) = 420/2

⇒ T(20) = 210

Por lo tanto, T(20) -T(10) = 210-55 = 155

Pregunta 2: Resuelve (1+2+3+4+5…25)×(30+29+27+28…1) 

Solución:

Como la pregunta dada requiere el producto de dos sumas, por lo tanto, use la fórmula n(n+1)/2

Primero calculemos la suma de los números naturales usando la fórmula,

T(n) = n(n+1)/2

Por lo tanto n=25,

⇒ T(25) = 25(25+1)/2

⇒ T(25) = (25×26)/2

⇒ T(25) = 650/2

⇒ T(25) = 325

Ahora para n = 30,

⇒ T(30) = 30(30+1)/2

⇒ T(30) = (30×31)/2

⇒ T(30) = 930/2

⇒ T(30) = 465

Por lo tanto,

⇒ (1+2+3+4+5…25)(30+29+27+28…1) 

⇒ T(30) ×T(25)

⇒ 325×465

⇒ 151125