Forma canónica y estándar – Part 1

Forma canónica: en el álgebra booleana, la función booleana se puede expresar como forma normal disyuntiva canónica conocida como minterm y algunas se expresan como forma normal conjuntiva canónica conocida como maxterm . 
En Minterm, buscamos las funciones donde la salida da como resultado «1», mientras que en Maxterm buscamos la función donde la salida da como resultado «0». 
Realizamos Suma de minterm también conocida como Suma de productos (SOP). 
Realizamos Producto de Maxterm también conocido como Producto de suma (POS). 
Se dice que las funciones booleanas expresadas como suma de minitérminos o producto de maxtérminos están en forma canónica. 

Forma estándar: una variable booleana se puede expresar en forma verdadera o en forma complementada. En forma estándar, la función booleana contendrá todas las variables en forma verdadera o complementada, mientras que en el número canónico de variables depende de la salida de SOP o POS. 

Una función booleana se puede expresar algebraicamente a partir de una tabla de verdad dada formando un: 

• minterm para cada combinación de las variables que produce un 1 en la función y luego tomando el OR de todos esos términos.
• maxterm para cada combinación de las variables que produce un 0 en la función y luego tomando el AND de todos esos términos.

Tabla de verdad que representa minterm y maxterm – 
 

De la tabla anterior queda claro que minterm se expresa en formato de producto y maxterm se expresa en formato de suma. 

Suma de minitérminos: 
los minitérminos cuya suma define la función booleana son aquellos que dan los 1 de la función en una tabla de verdad. Como la función puede ser 1 o 0 para cada minitérmino, y como hay 2^n minitérminos, se pueden calcular todas las funciones que se pueden formar con n variables como (2^(2^n)). A veces es conveniente expresar una función booleana en su forma de suma de minitérminos. 
 

• Ejemplo: exprese la función booleana F = A + B’C como suma estándar de minitérminos.
• Solución – 
  A = A(B + B’) = AB + AB’ 
  A esta función todavía le falta una variable, entonces 
  A = AB(C+ C’) + AB'(C+ C’) = ABC+ ABC’+ AB ‘C+ AB’C’ 
  Al segundo término B’C le falta una variable; por tanto, 
  B’C = B’C(A + A’) = AB’C+ A’B’C 
  Combinando todos los términos tenemos 
  F = A + B’C = ABC+ ABC’ + AB’C+ AB’ C’ + AB’C+ A’B’C 
  Pero AB’C aparece dos veces, y 
  según el teorema 1 (x + x = x), es posible eliminar una de esas ocurrencias. Reordenando los minitérminos en orden ascendente, finalmente obtenemos 
  F = A’B’C+ AB’C’ + AB’C+ ABC’ + ABC 
  = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 
  SOP se representa como Sigma(1, 4 , 5, 6, 7)
  • Ejemplo: exprese la función booleana F = xy + x’z como un producto de maxterms
  • Solución – 
    F = xy + x’z = (xy + x’)(xy + z) = (x + x’)(y + x’)(x + z)(y + z) = (x’ + y )(x + z)(y + z) 
    x’ + y = x’ + y + zz’ = (x’+ y + z)(x’ + y + z’) x
    + z = x + z + yy ‘ = (x + y + z)(x + y’ + z)
    y + z = y + z + xx’ = (x + y + z)(x’ + y + z) 
    F = (x + y + z)(x + y’ + z)(x’ + y + z)(x’ + y + z’) 
    = M0*M2*M4*M5 
    POS se representa como Pi(0, 2, 4, 5)
    • Ejemplo – 

      F(A, B, C) = Sigma(1, 4, 5, 6, 7) 
      F'(A, B, C) = Sigma(0, 2, 3) = m0 + m2 + m3 
      Ahora, si tomamos el complemento de F’ por el teorema de DeMorgan, obtenemos F de otra forma: 
      F = (m0 + m2 + m3)’ 
      = m0’m2’m3′ 
      = M0*M2*M3 
      = PI(0, 2, 3) 
       

  • Ejemplo: convertir una expresión booleana en forma estándar F=y’+xz’+xyz
  • Solución – F = (x+x’)y'(z+z’)+x(y+y’)z’ +xyz 
    F = xy’z+ xy’z’+x’y’z+x’y’ z’+ xyz’+xy’z’+xyz