Órdenes Parciales y Retículas (Set-2) | Matemáticas

Prerrequisito: Órdenes Parciales y Celosías | Serie 1 

Conjunto bien ordenado: 
dado un poset, (X, ≤) decimos que ≤ es un buen orden (bien ordenado) y que está bien ordenado por ≤ si y solo si cada subconjunto no vacío de X tiene un elemento mínimo. Cuando X no está vacío, si elegimos cualquier subconjunto de dos elementos, {a, b}, de X, dado que el subconjunto {a, b} debe tener un elemento mínimo, vemos que a≤b o b≤a , es decir, todo bien-orden es un pedido total. 
Ej. – El conjunto de los números naturales (N) es un bien ordenado.

Lattice: UN POSET en el que cada par de elementos tiene un límite superior mínimo y un límite inferior máximo. 

Tipos de celosía: –

1. Retículo acotado: 
Se dice que un retículo L está acotado si tiene el elemento mayor I y el elemento menor 0. 
Ej. – D ₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18} es un retículo acotado. 
 

Nota: Todo retículo finito siempre está acotado. 

2. Celosía Complementada: 
Se dice que una celosía L está complementada si está acotada y si cada elemento en L tiene un complemento. Aquí, cada elemento debe tener al menos un complemento. 
Por ejemplo, D ₆ {1, 2, 3, 6} es una red complementada. 
 

En el diagrama anterior, cada elemento tiene un complemento. 

3. Celosía distributiva:

Si una red cumple las siguientes dos propiedades de distribución, se denomina red distributiva.

• x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)
• x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)

• Un retículo distributivo complementado es un álgebra booleana o un retículo booleano.
• Una red es distributiva si y sólo si ninguna de sus subredes es isomorfa a N ₅ o M ₃ .
• Para la red distributiva, cada elemento tiene complemento único. Esto se puede usar como un teorema para demostrar que una red no es distributiva.

4. Celosía modular

Si una red cumple la siguiente propiedad, se llama red modular.
a^(b∨(a^d)) = (a^b)(a^d).

Ejemplo-