Gráficos por computadora: transformación de reflejos en 3D

La reflexión en el espacio 3D es bastante similar a la reflexión en el espacio 2D, pero hay una sola diferencia en 3D, aquí tenemos que lidiar con tres ejes (x, y, z). La reflexión no es más que una imagen especular de un objeto.

Tres tipos de Reflexiones son posibles en el espacio 3D:

Reflexión a lo largo del plano XY.
Reflexión a lo largo del plano YZ.
Reflexión a lo largo del plano XZ.

Reflexión a lo largo del plano xy

transformación

$\hspace{4.5cm} \Large R_{xy} =\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]$

Considere, un punto P[x, y, z] que está en el espacio 3D se refleja a lo largo de la dirección XY después de que la reflexión P[x, y, z] se convierte en P'[x’, y’, z’].

$\hspace{4.5cm} \Large P'[x\,\,y\,\,z\,\,1]=P[x\,\,y\,\,z\,\,1].R_{xy}$

se muestra en la siguiente figura –

La array de transformación de reflexión para los ejes yz es la siguiente:

$\hspace{4.5cm} \Large R_{yz} =\left[\begin{matrix}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]$

Considere, un punto P[x, y, z] que está en el espacio 3D se refleja a lo largo de la dirección YZ, después de la reflexión P[x, y, z] se convierte en P'[x’, y’, z’].

$\hspace{4.5cm} \Large P'[x\,\,y\,\,z\,\,1]=P[x\,\,y\,\,z\,\,1].R_{yz}$

se muestra en la siguiente figura –

La array de transformación de reflexión para los ejes zx es la siguiente:

$\hspace{4.5cm} \Large R_{zx} =\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]$

Considere, un punto P[x, y, z] que está en el espacio 3D se refleja a lo largo de la dirección ZX , después de la reflexión P[x, y, z] se convierte en P'[x’, y’, z’].

$\hspace{4.5cm} \Large P'[x\,\,y\,\,z\,\,1]=P[x\,\,y\,\,z\,\,1].R_{zx}$

Considere un cubo ‘OABCDEFG’, que se proporciona a continuación, realice una transformación reflejada sobre él a lo largo del plano XY.

El cubo dado es el siguiente:

Figura 1

Entonces, la condición de representación matricial de la transformación de reflexión a lo largo del eje XY:

$\hspace{4.5cm} \Large R_{xy} =\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]$

El punto O[0 0 0] se convierte en O’ después de realizar la transformación de reflexión:
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large O'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]} \\ \hspace{6.68cm}\Large \mathbf{=[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]}\\ \hspace{4.37cm}\mathbf{O'[x ,y ,z]=[0 ,0 ,0]}$

El punto A[0 4 0] se convierte en A’ después de realizar la transformación de reflexión:
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large A'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm}\Large\mathbf{=[0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]}\\ \hspace{4.37cm}\Large\mathbf{A'[x ,y ,z]=[0 ,4 ,0]}$

El punto B[0 4 4] se convierte en B’ después de realizar la transformación de reflexión:
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large B'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm}\Large\mathbf{=[0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]} \newline \hspace{4.37cm}\Large\mathbf{B'[x ,y ,z]=[0 ,4 ,4]}$

El punto C[-4 4 0] se convierte en C’ después de realizar la transformación de reflexión:
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large C'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm} \Large \mathbf{=[-4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]}\\ \newline \hspace{4.37cm}\Large\mathbf{C'[x ,y ,z]=[-4 ,4 ,0]}$

El punto D[4 4 4] se convierte en D’ después de realizar la transformación de reflexión:
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large D'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm}\Large \mathbf{=[-4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]}\\ \hspace{4.37cm}\Large\mathbf{D'[x ,y ,z]=[-4 ,4 ,4]}$

El punto E[4 0 0] se convierte en E’ después de realizar la transformación de reflexión:
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large E'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm} \Large\mathbf{=[-4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]}\\ \hspace{4.37cm}\mathbf{E'[x ,y ,z]=[-4 ,0 ,0]}$

El punto F[0 0 4] se convierte en F’ después de realizar la transformación de reflexión:
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large F'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm}\Large \mathbf{=[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]}\\ \hspace{4.37cm}\mathbf{F'[x ,y ,z]=[0 ,0 ,4]}$

El punto G[4 0 4] se convierte en G’ después de realizar la transformación de reflexión:
$\hspace{4cm} \mathbf{\Large G'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm}1]\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.68cm}\Large \mathbf{=[-4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]}\\ \newline \hspace{4.37cm}\mathbf{G'[x ,y ,z]=[-4 ,0 ,4]}$

Después de realizar la Transformación de reflexión sobre la figura anterior (Fig.1) se vería así:

Imagen 3D reflejada

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por madhav_mohan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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