Razón del área de un círculo al triángulo equilátero cuando tres círculos iguales se colocan dentro de un triángulo equilátero

Dadas tres circunferencias iguales que se colocan dentro de un triángulo equilátero tal que cada circunferencia es tangencial a los lados del triángulo equilátero y a las demás circunferencias. La tarea es encontrar la razón del área de un círculo al área del triángulo equilátero. 

Solución: 
A continuación se muestra la imagen de cómo se inscriben los círculos en un triángulo: 
 

Ahora, como AB y BC son tangentes a la circunferencia de centro P, PQ será perpendicular a BC y PB bisecará el ángulo ABC. Por lo tanto, el ángulo PBQ=30° ya que ABC es un triángulo equilátero y el ángulo ABC=60°.

Considere el triángulo PBQ, tan30°= PQ/BQ = 1/√3

BQ = PQ*√3 = R*√3 (R es el radio de un círculo). Del mismo modo RC = R*√3

Ahora BC = BQ+QR+CR = R√3 + 2R + R√3 = 2R(√3 +1)
Por lo tanto, la razón del área del círculo al área del triángulo está dada por: 
 

Ya que, 

[Tex]área(triángulo) = \frac{\sqrt{3}(2r(\sqrt{3}+1))^{2}}{4} [/Tex]

Por lo tanto, la relación viene dada por: 

[Tex]Relación = \frac{\pi}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)^{2}} [/Tex]