La ciencia es un tema fascinante que está lleno de información fascinante. Cuanto más se profundiza en los principios de la ciencia y sus disciplinas asociadas, más conocimiento e información hay que obtener. La Ley de Gauss, que analiza la carga eléctrica, una superficie y el tema del flujo eléctrico, es uno de esos temas de investigación. Aprendamos más sobre la ley y cómo funciona para que podamos comprender la ecuación de la ley.
¿Qué es la Ley de Gauss?
El flujo eléctrico total que sale de una superficie cerrada es igual a la carga contenida dividida por la permitividad, según la Ley de Gauss. El flujo eléctrico en un área determinada se calcula multiplicando el campo eléctrico por el área de la superficie proyectada en un plano perpendicular al campo.
El flujo total asociado con una superficie cerrada es igual a 1 ⁄ ε 0 veces la carga que abarca la superficie cerrada, de acuerdo con la ley de Gauss.
∮ mi ds = q ⁄ ε 0
Por ejemplo, una carga puntual ‘q’ se coloca dentro de un cubo con arista ‘a’. El flujo a través de cada cara del cubo ahora es q ⁄ 6ε 0 , según la ley de Gauss.
El campo eléctrico es el concepto más fundamental en la comprensión de la electricidad. En general, el campo eléctrico de una superficie se calcula utilizando la ecuación de Coulomb, sin embargo, se requiere comprender la idea de la ley de Gauss para calcular la distribución del campo eléctrico en una superficie cerrada. Describe cómo una carga eléctrica está encerrada en una superficie cerrada o cómo una carga eléctrica está presente en una superficie cerrada que está encerrada.
Fórmula de la ley de Gauss
Según el teorema de Gauss, la carga total encerrada en una superficie cerrada es proporcional al flujo total encerrado por la superficie. En consecuencia, la carga eléctrica total Q contenida en la superficie es: si ε 0 es constante eléctrica y ϕ es flujo total.
Q = ϕ ε 0
La fórmula de la ley de Gauss viene dada por:
ϕ = Q ⁄ ε 0
dónde,
- ε 0 es la constante eléctrica,
- Q es la carga total dentro de una superficie dada, y
- ϕ es el flujo encerrado por la superficie.
El teorema de Gauss
La carga neta en el volumen contenido por una superficie cerrada es exactamente proporcional al flujo neto a través de la superficie cerrada.
ϕ = mi dA = q neto ⁄ ε 0
El teorema de Gauss conecta el ‘flujo’ de líneas de campo eléctrico (flujo) con las cargas dentro de la superficie encerrada en términos simples. El flujo eléctrico neto se mantiene en 0 si una superficie no contiene cargas. El número de líneas de campo eléctrico que ingresan a la superficie es igual al número de líneas de campo que salen de la superficie.
El enunciado del teorema de Gauss también da un corolario importante:
El flujo eléctrico de cualquier superficie cerrada se debe únicamente a las fuentes y sumideros de campos eléctricos encerrados por la superficie. El flujo eléctrico no se ve afectado por ninguna carga fuera de la superficie. Además, solo las cargas eléctricas pueden operar como fuentes o sumideros de campo eléctrico. Los campos magnéticos cambiantes, por ejemplo, no pueden actuar como fuentes o sumideros de campos eléctricos.
Debido a que encierra una carga neta, el flujo neto de la superficie de la izquierda es distinto de cero. Debido a que la superficie de la derecha no contiene ninguna carga, el flujo neto es cero. La ley de Gauss no es más que una repetición de la ley de Coulomb. La ley de Coulomb se obtiene fácilmente aplicando el teorema de Gauss a una carga puntual rodeada por una esfera.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
- En un medio con una constante dieléctrica de K, la fuerza del campo eléctrico cerca de un conductor plano cargado E = σ ⁄ K ε 0 . E aire = σ ⁄ ε 0 cuando el medio dieléctrico es aire.
- A una distancia de ‘r’ en el caso de una línea de carga infinita, E = (1 ⁄ 4 × π r ε 0 ) (2π ⁄ r) = λ ⁄ 2π r ε 0 , donde λ es la densidad de carga lineal.
- En un condensador, el campo entre dos placas paralelas es E = σ ⁄ ε 0 , donde σ es la densidad de carga superficial.
- La intensidad del campo eléctrico cerca de una lámina plana de carga es E = σ ⁄ 2K ε0, donde σ es la densidad de carga superficial.
Problemas de muestra
Problema 1: En la dirección x, hay un campo eléctrico homogéneo de tamaño E = 50 N⁄C. Calcule el flujo de este campo a través de un área cuadrada plana con un borde de 5 cm en el plano yz usando el teorema de Gauss. Suponga que la normal es positiva a lo largo del eje x positivo.
Solución:
Dado:
Campo eléctrico, E = 50 N⁄C
Longitud del borde del cuadrado, a = 5 cm = 0,05 m
El flujo del campo a través de un cuadrado plano, ϕ = ∫ E cosθ ds
Como la normal al área apunta a lo largo del campo eléctrico, θ = 0.
Además, E es uniforme, entonces, Φ = E ΔS = (50 N⁄C) (0,05 m) 2 = 0,125 N m 2 C -1 .
Por tanto, el flujo del campo dado es 0,125 N m 2 C -1 .
Problema 2: ¿Cómo elegimos una Superficie Gaussiana apropiada para diferentes casos?
Solución:
Para seleccionar una superficie gaussiana aceptable, debemos considerar el hecho de que la relación de carga a constante dieléctrica es proporcionada por una superficie integral (bidimensional) sobre la simetría del campo eléctrico de la distribución de carga.
Necesitaremos saber acerca de tres posibles escenarios.
- Cuando la distribución de carga es esféricamente simétrica, se llama esférica.
- Cuando la distribución de carga es cilíndricamente simétrica, se dice que es cilíndrica.
- Cuando la distribución de carga exhibe simetría traslacional a lo largo de un plano, se le llama pastillero.
Dependiendo de dónde queramos calcular el campo, podemos determinar el tamaño de la superficie. El teorema de Gauss es útil para determinar la dirección de un campo cuando hay simetría, ya que nos informa cómo se dirige el campo.
Problema 3: ¿Cómo encontrar el campo eléctrico usando la ley de Gauss?
Solución:
Normalmente, la ley de Gauss se emplea para calcular el campo eléctrico de distribuciones de carga simétricas. Cuando se usa esta ley para resolver el problema del campo eléctrico, se requieren numerosos procesos. Los siguientes son los detalles:
- Primero, debemos determinar la simetría espacial de la distribución de carga.
- El siguiente paso es seleccionar una superficie gaussiana adecuada que tenga la misma simetría que la distribución de carga. También deben determinarse sus ramificaciones.
- Calcule el flujo a través de la superficie evaluando la integral ϕ s E sobre la superficie gaussiana.
- Calcule la cantidad de carga contenida dentro de la superficie gaussiana.
- Calcule el campo eléctrico de la distribución de carga.
Sin embargo, para determinar el campo eléctrico, los alumnos deben recordar las tres formas de simetría. Las siguientes son las diversas formas de simetría:
- simetría en una esfera
- Simetría en una forma cilíndrica.
- simetría en un plano
Problema 4: Hay tres cargas q1, q2 y q3 que tienen cargas 4 C, 7 C y 2 C encerradas en una superficie. Encuentre el flujo total encerrado por la superficie.
Solución:
Carga total Q,
Q = q 1 + q 2 + q 3
= 4 C+ 7 C+ 2 C
= 13C
El flujo total, ϕ = Q ⁄ ε 0
ϕ = 13 C ⁄ (8.854×10 −12 F ⁄ metro)
ϕ = 1,468 N m 2 C -1
Por lo tanto, el flujo total encerrado por la superficie es 1.584 N m 2 C -1 .
Problema 5: ¿Cuál es la forma diferencial del teorema de Gauss?
Solución:
El campo eléctrico está relacionado con la distribución de carga en un lugar determinado del espacio por la versión diferencial de la ley de Gauss. Para aclarar, según la ley, la divergencia del campo eléctrico (E) es igual a la densidad de carga volumétrica (ρ) en una posición dada. Está escrito así:
ΔE = ρ ⁄ ε 0
Aquí, ε 0 es la permitividad del espacio libre.