Matemáticas | Modelo de distribución de Weibull

Posted on by Rudeus Greyrat

Introducción :

Supongamos que un evento puede ocurrir varias veces dentro de una determinada unidad de tiempo. Cuando se desconoce el número total de ocurrencias del evento, podemos pensar en él como una variable aleatoria X. Cuando esta variable aleatoria X sigue el modelo de distribución de Weibull (estrechamente relacionado con la distribución exponencial), su función de densidad de probabilidad se da de la siguiente manera.

f(x) = \alpha\beta x^{\beta-1}e^{-\alpha x^{\beta}}
only when 
x > 0, α >0, β > 0.  
f(x) = 0 , Otherwise

La función de distribución acumulativa de la distribución de Weibull se obtiene de la siguiente manera.

F(x) = \int_{0}^{x}\alpha\beta w^{\beta-1}e^{-\alpha w^{\beta}} dw
Putting y = w^b   ,

Obtendremos la siguiente expresión.

F(x) = \int^{x^b}_{0} \alpha e^{-\alpha y} dy = 1-e^{-\alpha x^\beta}

Esto significa que cuando X tiene la distribución de Weibull, entonces Y =  X^β  tiene una distribución exponencial.

Valor esperado :

El Valor Esperado de la distribución Beta se puede encontrar sumando productos de Valores con sus respectivas probabilidades.

\mu = E(X) = \int^{\infty}_{-\infty} x.f(x) dx
\mu = \int^{\infty}_{0} x. \alpha\beta x^{\beta-1}e^{-\alpha x^{\beta}} dx
Putting u = \alpha x^\beta  ,

Obtendremos la siguiente expresión de la siguiente manera.

\mu = \alpha^{-1/\beta} \int^{\infty}_0 u^{1/\beta} e^{-u} du

Usando la definición de la función gamma, obtendremos la siguiente expresión de la siguiente manera.

\mu = \alpha^{-1/\beta} \Gamma(1+\frac{1}{\beta})

Varianza y desviación estándar:

La varianza de la distribución Beta se puede encontrar utilizando la fórmula de la varianza.

σ^2 = E( X − μ )^2 = E( X^2 ) − μ^2
E(X^2) = \int^{\infty}_{-\infty} x^2.f(x) dx
E(X^2) = \int^{\infty}_{0} x^2. \alpha\beta x^{\beta-1}e^{-\alpha x^{\beta}} dx
Putting u = \alpha x^\beta   ,

Obtendremos la siguiente expresión de la siguiente manera.

E(X^2) = \alpha^{-2/\beta} \int^{\infty}_0 u^{2/\beta} e^{-u} du

Usando la definición de la función gamma, obtendremos lo siguiente.

E(X^2) = \alpha^{-2/\beta} \Gamma(1+\frac{2}{\beta})
So, Var(X) = E(X^2) - \mu^2
Var(X) = \sigma^2 = \alpha^{-2/\beta} [\Gamma(1+\frac{2}{\beta})- \{\Gamma (1+\frac{1}{\beta})\}^2]

La desviación estándar se da de la siguiente manera.

\sigma = \alpha^{-1/\beta} \sqrt{[\Gamma(1+\frac{2}{\beta})- \{\Gamma (1+\frac{1}{\beta})\}^2]}

Ejemplo – 

Suponga que la vida útil de cierto tipo de batería de respaldo de emergencia (en horas) es una variable aleatoria X que tiene la distribución de Weibull con α = 0.1 y β = 0.5. Encontrar

  1. La vida útil media de estas baterías;
  2. La probabilidad de que dicha batería dure más de 300 horas.

Solución –

1. Sustituyendo el valor de α y β en la fórmula de la media obtendremos lo siguiente.

\mu = (0.1)^{-2}\Gamma(3) = 200    hours

2. La probabilidad de que la batería dure más de 300 horas viene dada por lo siguiente.

\int_{300}^{\infty} (0.05)x^{-0.5} e^{-0.1x^{0.5}} dx = e^{-0.1(300)^{0.5}} = 0.177

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por img2018033 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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