Matemáticas | Modelo de distribución beta

Introducción :

Supongamos que un evento puede ocurrir varias veces dentro de una determinada unidad de tiempo. Cuando se desconoce el número total de ocurrencias del evento, podemos considerarlo como una variable aleatoria. Cuando una variable aleatoria X toma valores en el intervalo de 0 a 1, una opción de densidad de probabilidad es la distribución beta, cuya función de densidad de probabilidad viene dada por:

Representación de la función de densidad de probabilidad –

Será aplicable solo cuando pase la condición dada a continuación.

x > 0, m >0, n >0.  
f(x) = 0 , Otherwise

Aquí, verá el significado de la función como ha mostrado en la representación de la función de densidad de probabilidad donde B(mn) es el valor de la función beta.

Representación de B(mn) –

Integrando por partes, obtendremos la siguiente expresión como se muestra a continuación. 

Donde, Γ(x) es la función gamma de x, calculada como –

 for x>1
 when x is an integer

La variable aleatoria X se representa de la siguiente manera.

Representación de la variable aleatoria X –

X ~ BETA(m,n)

Valor esperado:

El Valor Esperado de la distribución Beta se puede encontrar sumando productos de Valores con sus respectivas probabilidades.

Al usar el valor de la función beta, obtendremos la siguiente expresión a continuación.

Al usar la propiedad de la función gamma, es decir Γ(x) = (x-1)!, obtendremos la siguiente expresión de la siguiente manera.

 
here, m, n -> integers

where provided m and n are integers.

Varianza y desviación estándar:

La varianza de la distribución Beta se puede encontrar utilizando la fórmula de la varianza.

Al usar el valor de la función beta, obtendremos la siguiente expresión de la siguiente manera.

Al usar la propiedad de la función gamma, es decir Γ(x) = (x-1)!, obtendremos la siguiente expresión de la siguiente manera.

La desviación estándar viene dada por como sigue.

Ejemplo – 

En cierto condado, la proporción de tramos de carretera que requieren reparaciones en un año dado es una variable aleatoria que tiene una distribución beta con m = 3 y n = 2.

(a) En promedio, ¿qué porcentaje de las secciones de la carretera requieren reparaciones en un año determinado?

(b) Calcule la probabilidad de que, como máximo, la mitad de los tramos de carretera requieran reparaciones en un año determinado.

Solución –

(a) 

lo que significa que, en promedio, el 60% de los tramos de carretera requieren reparaciones en un año determinado.

(b) Substituting m=3 and n=2 in the probability density function, and 
using Γ(3) = 2! = 2, Γ(2) = 1! = 1, Γ(5) = 4! = 24, 

obtendremos la siguiente expresión de la siguiente manera.

f(x) = 12 x^2 (1 − x) for 0<x<1. Otherwise f(x) = 0

Por lo tanto, la probabilidad deseada viene dada por como sigue.