Axiomas del sistema de números reales

En este artículo, veremos algunas ideas muy básicas sobre el Análisis Real , es decir, el estudio de la estructura del Sistema de Números Reales. Discutiremos los tres axiomas que se consideran satisfechos por el conjunto de los Números Reales, $R$

Los tres axiomas son:

Axiomas de campo
Axiomas de orden
Axioma de completitud

Axiomas de campo : El conjunto $R$ se representa como un campo $(R, +, .)$ donde $+$ y $.$ son las operaciones binarias de suma y multiplicación respectivamente. Consta de 4 axiomas de suma y multiplicación cada uno y una ley distributiva.

(i) Axiomas para la suma:

$a+b = b+a \ ∀ \ a,b \ ∈ R$
$(a+b)+c = a+(b+c) \ ∀ \ a,b,c \ ∈ R$
R contiene un elemento 0 tal que $a + 0 = a \ ∀ \ a ∈ R$
A cada uno $a ∈ R$ le corresponde un elemento $-a ∈ R$ tal que $a+(-a) = 0$

(ii) Axiomas para la multiplicación:

$ab = ba \ ∀\ a,b ∈ R$
$(ab)c = a(bc) \ ∀ \ a,b,c ∈ R$
$R$ contiene un elemento $1$ tal que $1.a = a \ ∀ \ a ∈ R$ y $1 ≠ 0$
Si $a ∈ R \ and \ a≠0$ entonces existe un elemento $\frac{1}{a} ∈ R$ tal que $a. (\frac{1}{a} ) = 1$

(iii) La ley distributiva:

$a(b+c) = ab+ac \ ∀ \ a,b,c ∈ R$

Axiomas de orden : Definimos $>$ (Mayor que) como la relación de orden, y satisface los siguientes axiomas:

Ley de la tricotomía: $a,b∈ R$ solo una de las expresiones puede ser verdadera: $a>b , a=b , b>a$
Transitividad – Para $a,b,c∈R \ a>b,\ b>c ⇒ a>c$
Propiedad Monótona para la suma – Para $a,b,c∈R, \ a>b ⇒ a+c > b+c$
Propiedad Monótona para la multiplicación – Para $a,b,c∈R,\ a>b, c>0 ⇒ ac > bc$

Lo llamamos $>$ orden lineal y $R$ se le llama campo linealmente ordenado .

Antes de definir el Axioma de Completitud, veremos el concepto de Acotación. Aquí, definiremos algunos términos antes de establecer el Axioma de Completitud.

Agregado : cualquier subconjunto no vacío, por ejemplo $A$ , de $R$ se conoce como agregado . Por ejemplo, el conjunto $Z^+$ es un agregado. De manera similar, el conjunto B = {1,2,4,8} también es un agregado ya que $B ⊆ R$ Pero, el conjunto A = {x,y,z} y el conjunto vacío $∅$ no son agregados.

Cota superior : Se dice que un subconjunto $S$ de $R$ está acotado por arriba si es $∃ \ k_1\ ∈ R$ tal que $x ∈ S ⇒ x \leq k_1$ . Este número $k_1$ se llama límite superior de $S$ . Por ejemplo, el conjunto $R^-$ de números reales negativos está acotado por arriba y $0$ es un límite superior. De manera similar, el conjunto $Z^-$ de enteros negativos está acotado por arriba y $-1$ es el límite superior. Pero, el conjunto $R^+$ de números reales positivos no está acotado arriba.

Límite inferior : se dice que un subconjunto $S$ de $R$ está acotado por debajo si $∃ \ k_2\ ∈ R$ este $x ∈ S ⇒ x \geq k_2$ número $k_2$ se denomina límite inferior de S. Por ejemplo, el conjunto $R^+$ está acotado por debajo y $0$ es un límite inferior. De manera similar, el conjunto $Z^+$ está acotado por abajo y $1$ es el límite superior. Pero, el conjunto $R^-$ no está acotado por debajo.

Least Upper Bound : considere un límite superior $u$ de un agregado $S$ y cualquier número real menor que $u$ no sea un límite superior de $S$ , entonces decimos que $u$ es el límite superior mínimo (lub) o supremum (sup) de $S.$

Límite inferior más grande : considere un límite inferior $v$ de un agregado $S$ y cualquier número real mayor que $v$ no sea un límite inferior de $S$ , entonces decimos que $v$ es el límite inferior más grande (glb) o infimum (inf) de $S.$

Ejemplo : Sea $S = [0,1]$ . Para S, vemos que 1 es un límite superior y cualquier número menor que 1 no es un límite superior de S, por lo tanto, 1 es supremo de S. Además, 0 es un límite inferior y cualquier número mayor que 0 no es un límite inferior. acotado, entonces, 0 es el mínimo de S.

Acotación : un agregado S está acotado si está acotado por arriba y por abajo. Es decir, debe tener un límite superior y un límite inferior. Por ejemplo, cualquier conjunto finito está acotado, el conjunto vacío $∅$ está acotado. Pero, los conjuntos $Q$ y $R$ no están acotados.

Nota : No es necesario que un agregado tenga un miembro mayor y uno menor para estar acotado por arriba o por abajo, respectivamente.

Ahora que hemos terminado con la definición requerida, establecemos el Axioma de Completitud (también llamado el axioma del límite superior mínimo) .

«Todo conjunto no vacío de números reales que está acotado arriba tiene un supremo».

El conjunto R satisface los axiomas de campo, los axiomas de orden y el axioma de completitud . Por lo tanto, el conjunto de números reales $R$ se llama un cuerpo ordenado completo.

Además, el conjunto de los números racionales $Q$ no satisface el axioma de completitud. Por lo tanto, $Q$ no es un campo completo.

El axioma de completitud es una propiedad realmente fundamental e importante de los sistemas de números reales, como pruebas de varios teoremas de cálculo, los conceptos de máximos y mínimos, teoremas de valor medio, etc., se basan en la propiedad de completitud de los números reales.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por shashanksamavedula1999 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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