Grupo de isomorfismos y automorfismos

Prerrequisito – Grupo

Isomorfismo :  
Para dos grupos ( G ,+) y ( G’ ,*) una función f : G → G’ se llama isomorfismo si 

• f es uno-uno
• fi s en
• fi s homomorfismo es decir f (a + b) = f( a) * f (b) ∀ a, b ∈ G.

En resumen, un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo.

Grupo isomorfo:
Si existe un isomorfismo del grupo (G,+) al (G’,*). Entonces un grupo (G,+) se llama isomorfo a un grupo (G’,*)
Se escribe como G ≅ G’ .

Ejemplos –

1. f(x)=log(x) para grupos (R ⁺ ,*) y (R,+) es un isomorfismo de grupo.
Explicación – 

• f(x)=f(y) => log(x)=log(y) => x=y , entonces f es uno-uno.
• f(R ⁺ )=R , entonces f es sobre.
• f(x*y)=log(x*y)=log(x)+log(y)=f(x)+f(y) , entonces f es un homomorfismo.

 2. f(x)=ax para el grupo (Z,+) a (aZ,+) , donde a es cualquier número distinto de cero.
Explicación – 

• f(x)=f(y) => ax=ay => x=y , entonces f es uno-uno.
• f(Z)=aZ , entonces f es sobre.
• f(x + y) =ax + ay= f(x) + f(y), entonces f es un homomorfismo.  

 3. La función f del grupo de raíces cúbicas de la unidad { } con una operación de multiplicación es un isomorfismo para agrupar clases residuales mod(3) {{0},{1},{2}} con la operación de suma de clases residuales mod(3) tal que f(1)={0}, f( )={1} y f( )={2}.

Explicación –

• Claramente, f es sobre y uno-uno.
• También f(1* ) = f( ) = {1} = {0} + ₃ {1} = f(1)*f( ).
  f( * ) = f(1) = {0} = {1} + ₃ {2} = f( )*f( ).
  y f( *1) = f( ) = {2}={2} + ₃ {0} = f( )*f(1). Entonces f es homomorfismo.
  Todo esto prueba que f es un isomorfismo para dos grupos referidos.     

4. f(x)=ex ^para grupos (R,+) y (R+,*) donde R+ es un grupo de números reales positivos y x es un número entero.

5. Los grupos ({0,1,2,3},+ ₄ ) y ({2,3,4,1},+ ₅ ) son isomorfos.

NOTA :

1. Si hay un Homomorfismo f forman grupos (G,*) a (H,+) . Entonces f también es un isomorfismo si y solo si Ker(f)={e}. Aquí e es la identidad de (G,*). 
   Además, Ker(f) = Núcleo de un homeomorfismo f :(G,*) → (H,+) es un conjunto de todos los elementos en G tal que una imagen de todos estos elementos en H es el elemento identidad e’ de (H,+) .
2. Si dos grupos son isomorfos, ambos serán abelianos o no lo serán. Recuerda que un grupo es abeliano si es conmutativo.
3. Un conjunto de grupos isomorfos forman una clase de equivalencia y tienen una estructura idéntica y se dice que son abstractamente idénticos.

Automorfismo : 
Para un grupo (G,+), una aplicación f : G → G se llama automorfismo si 

• f es uno-uno.
• f homomórfica , es decir , f (a +b) = f (a) + f (b) ∀ a, b ∈ G.

Ejemplos –

 1. Para cualquier grupo (G,+) un mapeo de identidad I _g : G → G, tal que I _g (g)=g , ∀g ∈ G es un automorfismo.
Explicación-  

• como si I(a)=I(b) => a=b entonces I es uno-uno.
• como I(a+b) =a+b =I(a)+I(b), entonces I también es un homomorfismo.

2. f(x)=-x para el grupo (Z,+).
Explicación- 

• como si f(a)=f(b) => -a=-b => a=b entonces f es uno-uno.
• como si f(a+b) =-(a+b) =(-a)+(-b) =f(a)+f(b), entonces f es también un homomorfismo.                  

3. f(x)=axa ^-1 para un grupo (G,+) ∀a ∈ G.
Explicación –

• como f(n)=f(m) => ana ^-1 = ama ^-1 => n = m entonces f es uno-uno.
• como f(n+m)= a(n+m)a ^-1 =ana ^-1 + ama ^-1 = f(n) + f(m), entonces f es también homomorhismo.

4. f(z)=  para grupos de números complejos con operación de suma.
Recuerde que f es un complejo conjugado tal que si z=a+ib entonces f(z)= = =a-ib.

5.f(x)=1/x es automorfismo para un grupo (G,*) si es abeliano.

NOTA :

1. Un conjunto de todos los automorfismos (funciones) de un grupo, con un compuesto de funciones como operaciones binarias forma un grupo.
2. Simplemente, un isomorfismo también se llama automorfismo si tanto el dominio como el rango son iguales.
3. Si f es un automorfismo del grupo (G,+), entonces (G,+) es un grupo abeliano.
4. El mapeo de identidad como vemos, en el ejemplo, es un automorfismo sobre un grupo que se llama automorfismo trivial y otro no trivial.
5. El automorfismo se puede dividir en automorfismo interno y externo .