Producto escalar de vectores

Se pueden multiplicar dos vectores o un vector y un escalar. Hay principalmente dos tipos de productos de vectores en física, la multiplicación escalar de vectores y el producto vectorial (producto cruzado) de dos vectores. El resultado del producto escalar de dos vectores es un número (un escalar). El uso común del producto escalar es definir las relaciones de trabajo y energía, como encontrar el trabajo realizado sobre un objeto por una fuerza (vector) mientras provoca el desplazamiento del objeto, este trabajo se puede definir como un producto escalar del vector fuerza. con el vector de desplazamiento.

Las cantidades escalares y vectoriales se definen como:

• Escalares:  estas son cantidades que pueden describirse completamente por una magnitud (o valor numérico) solamente. p.ej. la longitud de un objeto, el peso de un objeto, la velocidad de un cuerpo, etc.
• Vectores:  estas son cantidades que pueden describirse completamente tanto por una magnitud como por una dirección. por ejemplo, la velocidad de un cuerpo ya que tiene tanto magnitud como dirección.

Producto escalar

El producto escalar o producto punto de dos vectores es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud y devuelve un solo número como resultado. En términos geométricos, los productos escalares se pueden encontrar tomando la componente de un vector en la dirección del otro vector y multiplicándola por la magnitud del otro vector.

El producto escalar de dos vectores A y B está definido por,

AB = |A| × |B| porque ∅ 

dónde 

• |A| es la magnitud del vector A,
• |B| es la magnitud del vector B y
• ∅ es el ángulo entre los vectores A y B.

Como el producto escalar se denota con un punto (.), también se le llama producto escalar .

• Producto escalar en términos de representación vectorial unitaria

En la representación vectorial unitaria de vectores, donde i, j, k están a lo largo del eje x, eje y y eje z respectivamente. El producto escalar se puede calcular como: 

AB = UN _x × segundo _x + UN _y × segundo _y + UN _z × segundo _z

dónde,

A = A _x yo +A _y j +A _z k

segundo = segundo _x yo + segundo _y j + segundo _z k

• Interpretación geométrica del Producto Escalar de Vectores

El producto de dos vectores distintos de cero se puede visualizar como la multiplicación de la magnitud de cualquiera de los vectores, por la magnitud de la proyección del otro vector sobre él.

Caso 1: Cuando el ángulo entre dos vectores es mayor a 0 grados y menor a 90 grados entonces el resultado del producto escalar es positivo . 

Caso 2: Cuando el ángulo entre dos vectores es mayor a 90 grados y menor a 180 grados entonces el resultado del producto escalar es negativo . 

Caso 3: cuando el ángulo entre dos vectores es de 90 grados, el resultado del producto escalar es 0 . 

Casos Especiales de Producto Escalar

(1) Producto escalar de dos vectores paralelos: El producto escalar de dos vectores paralelos es simplemente el producto de las magnitudes de dos vectores. Como el ángulo entre vectores cuando son paralelos es de 0 grados, y cos 0 = 1. 

Por lo tanto, 

ab = |a| × |b| porque 0  

      = |un| × |b|

(2) Producto escalar de dos vectores antiparalelos: El producto escalar de dos vectores antiparalelos es negativo del producto de las magnitudes de dos vectores.

ab cos 180 = −|a| × |b|                         (Ya que, cos 180 = -1)

(3) Producto escalar de dos vectores ortogonales: El producto escalar de dos vectores ortogonales es 0.

ab cos 90 = 0                                          (Ya que, cos 90 = 0)

Representación matricial del producto escalar de vectores

En forma de array, los vectores se pueden representar como arrays de filas o arrays de columnas. Si tratamos a los vectores como arrays de fila de sus componentes x, y y z, entonces las transpuestas de estos vectores serían arrays de columna que contienen componentes x, y y z.

Por lo tanto, los vectores A y B se pueden ver de la siguiente manera:

un =

una x

Ay _

Az _

B = 

B x

por _

Bz _

Asi que, 

AB = A _x B _x +A _y B _y + A _z B _z

Propiedades de la multiplicación escalar de vectores

1. Propiedades conmutativas de la multiplicación escalar:

   Si a y b son dos vectores entonces:

   ab = ba

   Como,

   ab = |a||b| cos θ , y

  ba = |b||a| cos θ

   Entonces   ab = ba

2. Distributivo sobre la suma de vectores:

    Si a, b,c son vectores entonces,    

    a.(b+c) = ab + ac

3. Propiedad asociativa:

    Si a es a vectores y c, d son escalares entonces,

    c (d a ) = (cd) a

4. Propiedad de identidad:

    Si a es un vector entonces,

    1⋅ un = un

5. Propiedad multiplicativa de 0:

   Si a es un vector entonces,

   0 ( un )=0

Problemas de muestra

Problema 1: Encuentra el producto escalar del vector A= 2i + 5j +3k y el vector B= 3i + j +2k.

Solución:

A. B = (2 * 3) + (5 * 1) + (3 * 2)

        = 6 + 5 + 6

        = 17 

Problema 2: Una partícula cubre un desplazamiento desde la posición 2i + j + 2k a 3i + 2j +5k debido a una fuerza uniforme de ( 7i + 5j +2k) N. Si el desplazamiento es en ingletes calcular el trabajo realizado. 

Solución: 

Dado,

Posición final P2 = 3 i + 2 j +5 k

Posición inicial P1 = 2 i + j +2 k

Fuerza F = ( 7 yo + 5 j + 2 k ) norte

Asi que  

El desplazamiento D   = P2 – P1

re = ( 3 – 2 ) yo + ( 2 -1 ) j + ( 5 – 2 ) k

   = yo + j + 3 k

Trabajo realizado = F . D

= ( 7 yo + 5 j + 2 k ) . ( yo + j  + 3 k )

= (7*1) + (5*1) + (2*3)

= 7 + 5 + 6

= 18J

Problema 3: Encuentra el valor de m tal que los vectores A = 2 i + 3j + k y B = 3 i + 2 j + mk sean perpendiculares.

Solución:

Dado,

A y B son perpendiculares

entonces A. _ B = 0 

( 2 yo + 3 j + k ) . ( 3 yo + 2 j + metro k ) = 0

( 2 * 3 ) + ( 3 * 2 ) + ( 1 * metro ) = 0

6 + 6 + metro = 0

12 + metro = 0

metro = -12 

Problema 4: Demostrar que los vectores U = 2i + 3j + k y V = 4i – 2j + 2k son perpendiculares entre sí.

Solución:

Dado,

U = 2 yo + 3 j + k

V = 4 yo – 2 j + 2 k 

para demostrar que U y V son perpendiculares entre sí

tu _ V = ( 2 yo + 3 j + k ) . ( 4 i – 2 j – 2 k )

         = ( 2 * 4 ) + ( 3 * -2 ) + ( 1 * -2 )

         = 8 – 6 – 2

         = 0

sabemos que si el producto escalar de dos vectores es 0 entonces son perpendiculares entre si.

tu _ V = 0 entonces, U y V son perpendiculares entre sí

Por lo tanto probado  

Problema 5: Demostrar que los vectores A = 4ax -2ay – az y B = ax + 4ay -az son perpendiculares entre sí.

Solución:

|A|=√(4)^2 +(-2)^2 + (-1)^2 = √21

|B| = √(1)^2+(4)^2+(-1)^2 = √18

UNA . B = (4ax -2ay – az) . (hacha + 4ay -az)

        = 4 -8 + 4 

        =0

|A| |B| cos ∅ = 0

cos ∅ = 0

entonces ∅ = 90 °

Por lo tanto probado.