¿Qué es la curva de Koch?

El copo de nieve de Koch (también conocido como curva de Koch, estrella de Koch o isla de Koch) es una curva matemática y una de las primeras curvas fractales descritas. Se basa en la curva de Koch, que apareció en un artículo de 1904 titulado «Sobre una curva continua sin tangentes, construible a partir de la geometría elemental» del matemático sueco Helge von Koch.

La progresión del área del copo de nieve converge en 8/5 veces el área del triángulo original, mientras que la progresión del perímetro del copo de nieve diverge hasta el infinito. En consecuencia, el copo de nieve tiene un área finita limitada por una línea infinitamente larga.

Construcción

Paso 1:

Dibuja un triángulo equilátero. Puedes dibujarlo con un compás o un transportador, o simplemente mirarlo a ojo si no quieres perder demasiado tiempo dibujando el copo de nieve.

Paso 2:

Divide cada lado en tres partes iguales. Por eso es útil tener los lados divisibles por tres.

Paso 3:

Dibuja un triángulo equilátero en cada parte central. Mide la longitud del tercio medio para saber la longitud de los lados de estos nuevos triángulos.

Paso 4:

Divide cada lado exterior en tercios. Puedes ver que la segunda generación de triángulos cubre un poco de la primera. Estos tres segmentos de línea no deben dividirse en tres.

Paso 5:

Dibuja un triángulo equilátero en cada parte central.

Representación como sistema de Lindenmayer

La curva de Koch se puede expresar mediante el siguiente sistema de reescritura ( sistema de Lindenmayer ):

Alfabeto : F
Constantes : +, ?
Axioma : F
Reglas de producción : F? F+F–F+F

Aquí, F significa «avanzar», – significa «girar 60° a la derecha» y + significa «girar 60° a la izquierda».
Para crear el copo de nieve de Koch, se usaría F++F++F (un triángulo equilátero) como axioma.

Para crear una curva de Koch:

# Python program to print partial Koch Curve.
# importing the libraries : turtle standard 
# graphics library for python
from turtle import *
  
#function to create koch snowflake or koch curve
def snowflake(lengthSide, levels):
    if levels == 0:
        forward(lengthSide)
        return
    lengthSide /= 3.0
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    left(60)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    right(120)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    left(60)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
  
# main function
if __name__ == "__main__":
  
    # defining the speed of the turtle
    speed(0)                   
    length = 300.0              
  
    # Pull the pen up – no drawing when moving.
    penup()                     
      
    # Move the turtle backward by distance, 
    # opposite to the direction the turtle 
    # is headed.
    # Do not change the turtle’s heading.
    backward(length/2.0)        
  
    # Pull the pen down – drawing when moving.
    pendown()         
  
    snowflake(length, 4)
  
    # To control the closing windows of the turtle
    mainloop() 

Producción:

Para crear un copo de nieve completo con la curva de Koch, debemos repetir el mismo patrón tres veces. Así que intentemos eso.

# Python program to print complete Koch Curve.
from turtle import *
  
# function to create koch snowflake or koch curve
def snowflake(lengthSide, levels):
    if levels == 0:
        forward(lengthSide)
        return
    lengthSide /= 3.0
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    left(60)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    right(120)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
    left(60)
    snowflake(lengthSide, levels-1)
  
# main function
if __name__ == "__main__":
    # defining the speed of the turtle
    speed(0)                   
    length = 300.0   
  
    # Pull the pen up – no drawing when moving.
    # Move the turtle backward by distance, opposite
    # to the direction the turtle is headed.
    # Do not change the turtle’s heading.           
    penup()                     
  
    backward(length/2.0)
  
    # Pull the pen down – drawing when moving.        
    pendown()           
    for i in range(3):    
        snowflake(length, 4)
        right(120)
  
     # To control the closing windows of the turtle
    mainloop()       

Producción:

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