Matemáticas | Distribuciones de probabilidad Conjunto 3 (Distribución normal)

Los dos artículos anteriores introdujeron dos Distribuciones Continuas: Uniforme y Exponencial . Este artículo cubre la distribución de probabilidad normal, también una distribución continua, que es, con mucho, el modelo más utilizado para la medición continua.

Introducción –

Cada vez que se replica un experimento aleatorio, la variable aleatoria que es igual al resultado promedio (o total) de las réplicas tiende a tener una distribución normal a medida que aumenta el número de réplicas . Es una de las piedras angulares de la teoría de la probabilidad y la estadística, debido al papel que desempeña en el teorema del límite central y porque muchos fenómenos del mundo real implican cantidades aleatorias que son aproximadamente normales (p. ej., errores en la medición científica). También se conoce con otros nombres, como distribución gaussiana, distribución en forma de campana .

Se puede observar en el gráfico anterior que la distribución es simétrica con respecto a su centro, que también es la media (0 en este caso). Esto hace que la probabilidad de eventos con desviaciones iguales de la media sea igualmente probable. La densidad está muy centrada en torno a la media, lo que se traduce en probabilidades más bajas de valores alejados de la media.

Función de densidad de probabilidad –

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal general se da como:
$f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{\frac{-1}{2}\big( \frac{x-\mu}{\sigma} \big)^2}\\$
En la fórmula anterior, todos los símbolos tienen sus significados habituales, $\sigma$ es la desviación estándar y $\mu$ es la media.
Es fácil sentirse abrumado por la fórmula anterior al tratar de comprender todo de un vistazo, pero podemos intentar dividirlo en partes más pequeñas para tener una intuición de lo que está sucediendo.
La puntuación z es una medida de cuántas desviaciones estándar se encuentra un punto de datos de la media. Matemáticamente,
$\text{z-score} = \frac{X-\mu}{\sigma}$
el exponente de $e$ en la fórmula anterior es el cuadrado de la puntuación z por $\frac{-1}{2}$ . Esto está en realidad de acuerdo con las observaciones que hicimos anteriormente. Los valores alejados de la media tienen una probabilidad menor en comparación con los valores cercanos a la media. Los valores alejados de la media tendrán un puntaje z más alto y, en consecuencia, una probabilidad más baja ya que el exponente es negativo. Lo contrario es cierto para los valores más cercanos a la media.
Esto da paso a la regla 68-95-99.7 , que establece que el porcentaje de valores que se encuentran dentro de una banda alrededor de la media en una distribución normal con un ancho de dos, cuatro y seis desviaciones estándar, comprende 68%, 95% y 99,7% de todos los valores. La figura que se muestra a continuación muestra esta regla.

Los efectos de $\mu$ y $\sigma$ sobre la distribución se muestran a continuación. Aquí $\mu$ se usa para reposicionar el centro de la distribución y, en consecuencia, mover el gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha, y $\sigma$ se usa para aplanar o inflar la curva.

Expectativa
expectativa haga clic aquí o el valor esperado E[x] se puede encontrar simplemente multiplicando la función de distribución de probabilidad con x e integrando sobre todos los valores posibles
Sea ‘X’ una variable aleatoria distribuida normal con parámetros $\mu$ ans $\sigma^2$ .
sabemos que el área o la región dentro de la curva de distribución normal es 1 (porque la probabilidad es 1)
por lo tanto $\int^{+\infty}_{-\infty}f_X(x)\,dx$ = 1

$E[x] = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} $\int^{+\infty}_{-\infty} x*e^{\frac{-1}{2}\big( \frac{x-\mu}{\sigma} \big)^2}\,dx$$

escribiendo x como (x- $\mu$ ) + $\mu$ rendimientos

$E[x] = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} $\int^{+\infty}_{-\infty} (x-\mu)*e^{\frac{-1}{2}\big( \frac{x-\mu}{\sigma} \big)^2}\,dx$ + \frac{\mu}{\sigma \sqrt{2\pi}} $\int^{+\infty}_{-\infty} e^{\frac{-1}{2}\big( \frac{x-\mu}{\sigma} \big)^2}\,dx$$

dejando y = x- $\mu$

$E[x] = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} $\int^{+\infty}_{-\infty} y*e^{\frac{-1}{2}\big( \frac{y}{\sigma} \big)^2}\,dx$ + $\mu * \int^{+\infty}_{-\infty}f_X(x)\,dx$$

el primero es simétrico con respecto al eje y, por lo tanto, el valor de esa integral es 0.

$E[x] = 0 + $\mu * \int^{+\infty}_{-\infty}f_X(x)\,dx$$

$E[x] = 0 + \mu * 1$

por lo tanto,
la expectativa $E[x] = \mu$

varianza = $\sigma^2$

desviación estándar = $\sqrt{variance} = \sigma$

Distribución Normal Estándar –

En la Distribución Normal General, si la Media se establece en 0 y la Desviación Estándar se establece en 1, la distribución correspondiente obtenida se denomina Distribución Normal Estándar.
La función de densidad de probabilidad ahora se convierte en-
$f_X(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{\frac{-x^2}{2}}$
La función de densidad acumulada de distribución normal no da una fórmula cerrada. Por lo tanto, los valores precalculados formulados en tablas se utilizan siempre que sea necesario. Pero estas tablas solo contienen datos para la distribución estándar. Para encontrar la probabilidad acumulada de una distribución normal general, primero se estandariza y luego se calcula utilizando las tablas de valores.
Esto es beneficioso de dos maneras
: 1. Primero, solo se necesita una tabla para calcular las probabilidades de todas las distribuciones normales.
2. En segundo lugar, el tamaño de la tabla está limitado a 40 o 50 filas y 10 columnas. Esto se debe a la regla 68-95-99,7 explicada anteriormente, que dice que los valores dentro de 3 desviaciones estándar de la media representan una probabilidad del 99,7 %. Entonces más allá de X=3 ( $\mu +3\sigma = 0 + 3*1 = 3$ ) las probabilidades son aproximadamente 0.

If X is a normal random variable with E(X)= and V(X)=, 
the random variable  is a normal random variable with E(Z)=0 and V(Z)=1. 
That is, Z is a standard normal random variable.

Ejemplo: suponga que las mediciones de corriente en una tira de alambre siguen una distribución normal con una media de 10 miliamperios y una varianza de cuatro (miliamperios) $^2$ . ¿Cuál es la probabilidad de que una medida exceda los 13 miliamperios?
Solución: denote con X la corriente en miliamperios. La probabilidad solicitada se puede representar como P (X > 13).
Sea Z = (X ? 10) 2. Con la distribución normal ahora estandarizada, la probabilidad P(X > 13) = P(Z > 1.5) ahora se puede calcular fácilmente.
Mirando la tabla anterior, primero encontramos 1.5 en la columna X, y luego, como no hay más dígitos significativos, buscamos 0.00 en la columna Y. La celda correspondiente nos da el valor de $P(Z \leq 1.5) = 0.93319$
Entonces,
$P(Z \geq 1.5) = 1 - P(Z \leq 1.5) = 1 - 0.93319 = 0.06681$

Valor esperado , varianza , desviación estándar
El valor esperado de una variable aleatoria normal estándar X es la desviación estándar de la varianza del
valor esperado $E[x] = 0$
$V[x] = 1$
$= 1$

Preguntas de GATE CS Corner

Practicar las siguientes preguntas te ayudará a poner a prueba tus conocimientos. Todas las preguntas se han hecho en GATE en años anteriores o en pruebas simuladas de GATE. Es muy recomendable que los practiques.

1. GATE CS 2008, Pregunta 29

Referencias-

Distribución normal –
Regla de Wikipedia 68-95-99.7

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por cmkmanwani y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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