GRE Álgebra | Resolución de ecuaciones lineales

En matemáticas, una ecuación lineal es una ecuación que se puede poner en la forma,

a1x1 +........... + anxn + b = 0 

Donde x ₁ , x _n son las variables y a ₁ , a _n , b son los coeficientes, que a menudo son números reales.

Resolver una ecuación lineal significa encontrar los valores de todas las variables que hacen que la ecuación satisfaga. Dos ecuaciones se dice que son ecuaciones equivalentes cuando ambas tienen la misma solución.

Por ejemplo:
y + 4 = 16 y 3y + 12 = 48 ambas son ecuaciones equivalentes porque ambas son verdaderas para (y = 12).

Reglas para producir ecuaciones equivalentes:

1. Cuando se suma o se resta la misma constante de ambos lados de una ecuación, se conserva la igualdad y la nueva ecuación es equivalente a la ecuación original.
2. Cuando la ecuación se multiplica o divide por la misma constante distinta de cero en ambos lados, se conserva la igualdad y la nueva ecuación es equivalente a la ecuación original.

Ecuaciones lineales en una variable:
una ecuación lineal en una variable, se puede escribir en forma,

ax + b = c 

donde a, b son números reales.

La ecuación lineal se puede resolver combinando todos los términos similares en cada lado de la ecuación. Luego usa todas las reglas para producir ecuaciones equivalentes similares.

Example-1: Solve  15x - 2x - 9 = 4x + 3(x - 5)
Solution:
13x - 9 = 4x + 3x - 15
13x - 9 = 7x - 15              (like terms combined)
13x - 9 -7x = 7x -15 - 7x      (-7x) added to both sides
6x - 9 = -15
6x - 9 + 9 = -15 + 9           (9) is added to both sides
6x = -6
6x/6 = -6/6                    both sides divided by 6
x  = -1 

Ecuaciones lineales en dos variables:
Una ecuación lineal en dos variables x e y, se puede escribir en la forma,

ax + by + c = 0    

donde a, b y c son números reales pero a y b no son cero al mismo tiempo.

La ecuación de dos variables se puede resolver por dos métodos:

1. Método de sustitución
2. Método de eliminación

Ejemplo-2: Resolver usando el método de sustitución 2x ​​+ 2y = 4 y 4x – 6y = 18
Solución: Podemos expresar x en términos de y en la primera ecuación como,

x = 2 - y 

Luego, sustituye (y-2) por x en la segunda ecuación para encontrar el valor de y.

4(2 - y) - 6y = 18
8 - 4y - 6y = 18
-10y = 10
y = -1 

Sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de x.

2x + 2(-1) = 4
2x = 6
x = 3 

Ejemplo-3: Resuelva usando el método de eliminación 2x ​​+ 2y = 4 y 4x – 6y = 18
Solución: Compare los coeficientes de x e y e iguale para una variable.
Luego reste o sume ambas ecuaciones para que se pueda eliminar una variable.
Multiplica la primera ecuación por 2 y resta la segunda ecuación de la primera.

4x + 4y = 8 ..........(1)
4x - 6y = 18 .........(2)
_______________
    10y = -10
y = -1 

Por lo tanto, ponga el valor de y en la primera ecuación,

2x + 2(-1) = 4
2x = 6  
x = 3