Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 29 El avión – Ejercicio 29.6

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Pregunta 1. Encuentra el ángulo entre los planos dados:

(yo)  \vec{r} \cdot \left( 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k} \right) = 1 y \vec{r} \cdot \left( - \hat{i} + \hat{j} \right) = 4

Solución:

Dado 

\vec{r} \cdot \left( 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k} \right) = 1 y \vec{r} \cdot \left( - \hat{i} + \hat{j} \right) = 4

Como sabemos que el ángulo entre los planos  \vec{r} . \vec{n_1} = d_1 , \vec{r} . \vec{n_2} = d_2  está dado por,

\cos \theta = \frac{\vec{n_1} . \vec{n_2}}{\left| \vec{n_1} \right| \left| \vec{n_2} \right|}

Aquí, \vec{n_1} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}, \vec{n_2} = - \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k}

Asi que, \cos \theta = \frac{\left( 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k} \right) . \left( - \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k} \right)}{\left| 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k} \right| \left| - \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k} \right|}

= \frac{- 2 - 3}{\sqrt{4 + 9 + 16} \sqrt{1 + 1 + 0}}

= \frac{- 5}{\sqrt{29} \sqrt{2}}

= \frac{- 5}{\sqrt{58}}

Por lo tanto,  \theta = \cos^{- 1} \left( \frac{- 5}{\sqrt{58}} \right) .

(ii)  \vec{r} \cdot \left( 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k} \right) = 6 y \vec{r} \cdot \left( 3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k} \right) = 9

Solución:

Dado 

\vec{r} \cdot \left( 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k} \right) = 6 y \vec{r} \cdot \left( 3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k} \right) = 9

Como sabemos que el ángulo entre los planos  \vec{r} . \vec{n_1} = d_1 , \vec{r} . \vec{n_2} = d_2  está dado por,

\cos \theta = \frac{\vec{n_1} . \vec{n_2}}{\left| \vec{n_1} \right| \left| \vec{n_2} \right|}

Aquí, \vec{n_1} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k},\vec{n_2} = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}

Asi que, \cos \theta = \frac{\left( 2 \hat{i}- \hat{j} + 2 \hat{k} \right) . \left( 3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k} \right)}{\left| 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k} \right| \left| 3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k} \right|}

= \frac{6 - 6 - 4}{\sqrt{4 + 1 + 4} \sqrt{9 + 36 + 4}}

= \frac{- 4}{\left( 3 \right) \left( 7 \right)}

= -4/21

Por lo tanto, θ = cos -1 (-4/21).

(iii)  \vec{r} \cdot \left( 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k} \right) = 5 y \vec{r} \cdot \left( \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k} \right) = 9

Solución:

Dado 

\vec{r} \cdot \left( 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k} \right) = 5 y \vec{r} \cdot \left( \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k} \right) = 9

Como sabemos que el ángulo entre los planos,  \vec{r} . \vec{n_1} = d_1 , \vec{r} . \vec{n_2} = d_2  viene dado por,

\cos \theta = \frac{\vec{n_1} . \vec{n_2}}{\left| \vec{n_1} \right| \left| \vec{n_2} \right|}

Aquí, \vec{n_1} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k} , \vec{n_2} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}

Asi que, \cos \theta = \frac{\left( 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k} \right) . \left( \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k} \right)}{\left| 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k} \right| \left| \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k} \right|}

= \frac{2 - 6 - 12}{\sqrt{4 + 9 + 36} \sqrt{1 + 4 + 4}}

= \frac{- 16}{\left( 7 \right) \left( 3 \right)}

= -16/21

Por lo tanto, θ = cos -1 (-16/21).

Pregunta 2. Encuentra el ángulo entre los planos:

(i) 2x − y + z = 4 y x + y + 2z = 3

Solución:

Dado, 2x − y + z = 4 y x + y + 2z = 3

Como sabemos que el ángulo entre los planos a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 está dado por,

\cos \theta = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{{a_1}^2 + {b_1}^2 + {c_1}^2} \sqrt{{a_2}^2 + {b_2}^2 + {c_2}^2}}

Entonces, el ángulo entre 2x – y + z = 4 y x + y + 2z = 3 está dado por,

\cos \theta = \frac{\left( 2 \right) \left( 1 \right) + \left( - 1 \right) \left( 1 \right) + \left( 1 \right) \left( 2 \right)}{\sqrt{2^2 + \left( - 1 \right)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}}

= \frac{2 - 1 + 2}{\sqrt{4 + 1 + 1} \sqrt{1 + 1 + 4}}

= \frac{3}{\sqrt{6} \sqrt{6}}

= 3/6

= 1/2

Por tanto, θ = cos -1 (1/2) = π/3.

(ii) x + y − 2z = 3 y 2x − 2y + z = 5

Solución:

Dado, x + y − 2z = 3 y 2x − 2y + z = 5

Como sabemos que el ángulo entre los planos a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 está dado por,

\cos \theta = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{{a_1}^2 + {b_1}^2 + {c_1}^2} \sqrt{{a_2}^2 + {b_2}^2 + {c_2}^2}}

Entonces, el ángulo entre x + y – 2z = 3 y 2x – 2y + z = 5 está dado por,

\cos \theta = \frac{\left( 1 \right) \left( 2 \right) + \left( 1 \right) \left( - 2 \right) + \left( - 2 \right) \left( 1 \right)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + \left( - 2 \right)^2} \sqrt{2^2 + \left( - 2 \right)^2 + 1^2}}

= \frac{2 - 2 - 2}{\sqrt{1 + 1 + 4} \sqrt{4 + 4 + 1}}

= \frac{- 2}{\sqrt{6} \sqrt{9}}

= -2/3√6

Por lo tanto, θ = cos -1 (-2/3√6).

(iii) x − y + z = 5 y x + 2y + z = 9

Solución:

Dado, x − y + z = 5 y x + 2y + z = 9

Como sabemos que el ángulo entre los planos a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 está dado por,

\cos \theta = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{{a_1}^2 + {b_1}^2 + {c_1}^2} \sqrt{{a_2}^2 + {b_2}^2 + {c_2}^2}}

Entonces, el ángulo entre x – y + z = 5 y x + 2y + z = 9 está dado por,

\cos \theta = \frac{\left( 1 \right) \left( 1 \right) + \left( - 1 \right) \left( 2 \right) + \left( 1 \right) \left( 1 \right)}{\sqrt{1^2 + \left( - 1 \right)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}}

= \frac{1 - 2 + 1}{\sqrt{1 + 1 + 1} \sqrt{1 + 4 + 1}}

= \frac{0}{\sqrt{3} \sqrt{6}}

= 0

Por lo tanto, θ = cos -1 (0) = π/2.

(iv) 2x − 3y + 4z = 1 y − x + y = 4

Solución:

Dado, 2x − 3y + 4z = 1 y − x + y = 4

Como sabemos que el ángulo entre los planos a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 está dado por,

\cos \theta = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{{a_1}^2 + {b_1}^2 + {c_1}^2} \sqrt{{a_2}^2 + {b_2}^2 + {c_2}^2}}

Entonces, el ángulo entre 2x – 3y + 4z = 1 y -x + y + 0z = 4 está dado por,

\cos \theta = \frac{\left( 2 \right) \left( - 1 \right) + \left( - 3 \right) \left( 1 \right) + \left( 4 \right) \left( 0 \right)}{\sqrt{2^2 + \left( - 3 \right)^2 + 4^2} \sqrt{\left( - 1 \right)^2 + 1^2 + 0^2}}

= \frac{- 2 - 3 + 0}{\sqrt{4 + 9 + 16} \sqrt{1 + 1 + 0}}

= \frac{- 5}{\sqrt{29} \sqrt{2}}

= \frac{- 5}{\sqrt{58}}

Por lo tanto,  \theta = \cos^{- 1} \left( \frac{- 5}{\sqrt{58}} \right) .

(v) 2x + y − 2z = 5 y 3x − 6y − 2z = 7

Solución:

Dado, 2x + y − 2z = 5 y 3x − 6y − 2z = 7

Como sabemos que el ángulo entre los planos a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 está dado por,

\cos \theta = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{{a_1}^2 + {b_1}^2 + {c_1}^2} \sqrt{{a_2}^2 + {b_2}^2 + {c_2}^2}}

Entonces, el ángulo entre 2x + y – 2z = 5 y 3x – 6y – 2z = 7 está dado por,

\cos \theta = \frac{\left( 2 \right) \left( 3 \right) + \left( 1 \right) \left( - 6 \right) + \left( - 2 \right) \left( - 2 \right)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + \left( - 2 \right)^2} \sqrt{3^2 + \left( - 6 \right)^2 + \left( - 2 \right)^2}}

= \frac{6 - 6 + 4}{\sqrt{4 + 1 + 4} \sqrt{9 + 36 + 4}}

= \frac{4}{\left( 3 \right) \left( 7 \right)}

= 4/21

Por lo tanto, θ = cos -1 (4/21).

Pregunta 3. Demuestra que los siguientes planos forman ángulos rectos.

(yo)  \vec{r} \cdot \left( 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \right) = 5 y \vec{r} \cdot \left( - \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \right) = 3

Solución:

dado,  \vec{r} \cdot \left( 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \right) = 5 y \vec{r} \cdot \left( - \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \right) = 3

Como sabemos que los planos  \vec{r} . \vec{n_1} = d_1 , \vec{r} . \vec{n_2} = d_2  son perpendiculares entre sí solo si  \vec{n_1} . \vec{n_2} =0 .

Aquí, \vec{n_1} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} , \vec{n_2} = - \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}

Ahora tenemos

\vec{n_1} . \vec{n_2} = \left( 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \right) . \left( - \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \right)

= -2 + 1 + 1 

= 0

Entonces, los planos dados son perpendiculares.

Por lo tanto probado.

(ii) x − 2y + 4z = 10 y 18x + 17y + 4z = 49

Solución:

Dado, x − 2y + 4z = 10 y 18x + 17y + 4z = 49

Como sabemos que los planos a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 son perpendiculares entre sí solo si,

=> un 1 un 2 + segundo 1 segundo 2 + do 1 do 2 = 0

Los planos dados son x – 2y + 4z = 10 y 18x + 17y + 4z = 49.

Aquí, a 1 = 1, b 1 = – 2, c 1 = 4, a 2 = 18, b 2 = 17 y c 2 = 4

Ahora tenemos

un 1 un 2 + segundo 1 segundo 2 + c 1 c 2 = ( 1) (18) + (- 2) (17) + (4) (4)

= 18 – 34 + 16 

= 0

Entonces, los planos dados son perpendiculares.

Por lo tanto probado.

Pregunta 4. Determina el valor de λ para el cual los siguientes planos son perpendiculares entre sí.

(yo)  \vec{r} \cdot \left( \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k} \right) = 7 y \vec{r} \cdot \left( \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k} \right) = 26

Solución:

dado,  \vec{r} \cdot \left( \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k} \right) = 7 y \vec{r} \cdot \left( \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k} \right) = 26

Como sabemos que los planos,  \vec{r} . \vec{n_1} = d_1 , \vec{r} . \vec{n_2} = d_2  son perpendiculares entre sí solo si,   \vec{n_1} . \vec{n_2} =0 .

Aquí, \vec{n_1} = \hat{i}| + 2 \hat{j} + 3 \hat{k} , \vec{n_2} = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k}

Los planos dados son perpendiculares. Entonces tenemos

\vec{n_1} . \vec{n_2} = 0

\left( \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k} \right) . \left( \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k} \right) = 0

λ + 4 – 21 = 0

λ – 17 = 0

l = 17

Por lo tanto, el valor de λ es 17.

(ii) 2x − 4y + 3z = 5 y x + 2y + λz = 5

Solución:

Dado, 2x − 4y + 3z = 5 y x + 2y + λz = 5

Como sabemos que los planos a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 son perpendiculares entre sí solo si,

=> un 1 un 2 + segundo 1 segundo 2 + do 1 do 2 = 0

Los planos dados son 2x – 4y + 3z = 5 y x + 2y + λz = 5.

Aquí, a 1 = 2, b 1 = – 4, c 1 = 3, a 2 = 1, b 2 = 2 y c 2 = λ.

Se da que los planos dados son perpendiculares. Entonces, obtenemos

un 1 un 2 + segundo 1 segundo 2 + do 1 do 2 = 0

(2) (1) + (-4) (2) + (3) (λ) = 0

2 – 8 + 3λ = 0

3λ = 6

λ = 2

Por lo tanto, el valor de λ es 2.

(iii) 3x − 6y − 2z = 7 y 2x + y − λz = 5

Solución:

Dado, 3x − 6y − 2z = 7 y 2x + y − λz = 5

Como sabemos que los planos a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 son perpendiculares entre sí solo si,

=> un 1 un 2 + segundo 1 segundo 2 + do 1 do 2 = 0

Los planos dados son 3x – 6y – 2z = 7 y 2x + y – λz = 5.

Aquí, a 1 = 3, b 1 = – 6, c 1 = – 2, a 2 = 2, b 2 = 1 y c 2 = -λ

Aquí, los planos dados son perpendiculares.

un 1 un 2 + segundo 1 segundo 2 + do 1 do 2 = 0

(3) (2) + (-6) (1) + (-2) (λ) = 0

6 – 6 + 2λ = 0

2λ = 0

λ = 0

Pregunta 5. Encuentra la ecuación de un plano que pasa por el punto (−1, −1, 2) y es perpendicular a los planos 3x + 2y − 3z = 1 y 5x − 4y + z = 5.

Solución:

La ecuación de cualquier plano que pasa por (-1, -1, 2) es,

una (x + 1) + segundo (y + 1) + c (z – 2) = 0 . . . . (1)

Se da que la ecuación anterior es perpendicular a cada uno de los planos 3x + 2y – 3z = 1 y 5x – 4y + z = 5. 

3a + 2b – 3c = 0 . . . . (2)

5a – 4b + c = 0 . . . . (3)

Al resolver las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos,

\begin{vmatrix}x + 1 & y + 1 & z - 2 \\ 3 & 2 & - 3 \\ 5 & - 4 & 1\end{vmatrix} = 0

-10 (x + 1) – 18 (y + 1) – 22 (z – 2) = 0

-5 (x + 1) – 9 (y + 1) – 11 (z – 2) = 0

5x + 5 + 9y + 9 + 11z – 22 = 0

5x + 9y + 11z – 8 = 0

Por lo tanto, la ecuación del plano es 5x + 9y + 11z – 8 = 0

Pregunta 6. Obtenga la ecuación del plano que pasa por el punto (1, −3, −2) y es perpendicular a los planos x + 2y + 2z = 5 y 3x + 3y + 2z = 8.

Solución:

La ecuación de cualquier plano que pasa por (1, -3, -2) es,

una (x – 1) + segundo (y + 3) + c (z + 2) = 0 . . . . (1)

Se da que la ecuación anterior es perpendicular a los planos x + 2y + 2z = 5 y 3x + 3y + 2z = 8.

un + 2b + 2c = 0 . . . . (2)

3a + 3b + 2c = 0 . . . . (3)

Al resolver las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos,

\begin{vmatrix}x - 1 & y + 3 & z + 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2\end{vmatrix} = 0

-2 (x – 1) + 4 (y + 3) – 3 (z + 2) = 0

-2x + 2 + 4y + 12 – 3z – 6 = 0

2x – 4y + 3z – 8 = 0

Por lo tanto, la ecuación del plano es 2x – 4y + 3z – 8 = 0

Pregunta 7. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a cada uno de los planos x + 2y − z = 1 y 3x − 4y + z = 5.

Solución:

La ecuación de cualquier plano que pasa por el origen (0, 0, 0) es,

un (x – 0) + segundo (y – 0) + c (z – 0) = 0 . . . . (1)

hacha + por + cz = 0 

Se da que la ecuación anterior es perpendicular a los planos x + 2y – z = 1 y 3x – 4y + z = 5.

un + 2b – c = 0 . . . . (2)

3a – 4b + c = 0 . . . . (3)

Al resolver la ecuación (1), (2) y (3), obtenemos,

\begin{vmatrix}x & y & z \\ 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 4 & 1\end{vmatrix} = 0

– 2x – 4y – 10z = 0

x + 2y + 5z = 0

Por lo tanto, la ecuación del plano es x + 2y + 5z = 0

Pregunta 8. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, −1, 2) y (2, −2, 2) y que es perpendicular al plano 6x − 2y + 2z = 9.

Solución:

La ecuación de cualquier plano que pasa por (1, -1, 2) es,

una (x – 1) + segundo (y + 1) + c (z – 2) = 0 . . . . (1)

Se da que la ecuación anterior está pasando por (2, -2, 2). Asi que,

a (2 – 1) + b (-2 + 1) + c (2 – 2) = 0 

un – segundo = 0 . . . . (2)

Se da que la ecuación anterior es perpendicular al plano 6x – 2y + 2z = 9. Entonces,

6a – 2b + 2c = 0

3a – segundo + c = 0 . . . . (3)

Al resolver la ecuación (1), (2) y (3), obtenemos,

\begin{vmatrix}x - 1 & y + 1 & z - 2 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 1\end{vmatrix} = 0

-1 (x – 1) – 1 (y + 1) + 2 (z – 2) = 0

– x + 1 – y – 1 + 2z – 4 = 0

x + y – 2z + 4 = 0

Por lo tanto, la ecuación del plano es x + y – 2z + 4 = 0

Pregunta 9. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos (2, 2, 1) y (9, 3, 6) y es perpendicular al plano 2x + 6y + 6z = 1.

Solución:

La ecuación de cualquier plano que pasa por (2, 2, 1) es,

una (x – 2) + segundo (y – 2) + c (z – 1) = 0 . . . . (1)

Se da que la ecuación anterior pasa por (9, 3, 6). Asi que,

a (9 – 2) + b (3 – 2) + c (6 – 1) = 0

7a + segundo + 5c = 0 . . . . (2)

Se da que la ecuación anterior es perpendicular al plano 2x + 6y + 6z = 1. Entonces,

2a + 6b + 6c = 0

a + 3b + 3c = 0 . . . . (3)

Al resolver las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos

\begin{vmatrix}x - 2 & y - 2 & z - 1 \\ 7 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 3\end{vmatrix} = 0

-12 (x – 2) – 16 (y – 2) + 20 (z – 1) = 0

3 (x – 2) + 4 (y – 2) – 5 (z – 1) = 0

3x + 4y – 5z = 9

Por lo tanto, la ecuación del plano es 3x + 4y – 5z = 9

Pregunta 10. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos cuyas coordenadas son (−1, 1, 1) y (1, −1, 1) y perpendicular al plano x + 2y + 2z = 5.

Solución:

La ecuación de cualquier plano que pasa por (-1, 1, 1) es,

una (x + 1) + segundo (y – 1) + c (z – 1) = 0 . . . . (1)

Se da que la ecuación anterior pasó por (1, -1, 1). Asi que,

a (1 + 1) + b (-1 – 1) + c (1 – 1) = 0 

2a – 2b = 0 . . . . (2)

Se da que la ecuación anterior es perpendicular al plano x + 2y + 2z = 5. Entonces,

un + 2b + 2c = 0 . . . . (3)

Al resolver las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos

\begin{vmatrix}x + 1 & y - 1 & z - 1 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 1 & 2 & 2\end{vmatrix} = 0

-4 (x + 1) – 4 (y – 1) + 6 (z – 1) = 0

2 (x + 1) + 2 (y – 1) – 3 (z – 1) = 0

2x + 2y – 3z + 3 = 0

Por lo tanto, la ecuación del plano es 2x + 2y – 3z + 3 = 0

Pregunta 11. Encuentra la ecuación del plano con intersección 3 en el eje y y paralelo al plano ZOX.

Solución:

La ecuación del plano paralelo al plano ZOX es,

y = segundo . . . . (1)

Según la pregunta, se da que este plano pasa por (0, 3, 0). Asi que,

=> segundo = 3

Al sustituir este valor en la ecuación (1), obtenemos

y = 3, 

Por lo tanto, la ecuación del plano es

y = 3 

Pregunta 12. Encuentra la ecuación del plano que contiene el punto (1, −1, 2) y es perpendicular a cada uno de los planos 2x + 3y − 2z = 5 y x + 2y − 3z = 8.

Solución:

La ecuación de cualquier plano que pasa por (1, -1, 2) es,

una (x – 1) + segundo (y + 1) + c (z – 2) = 0 . . . . (1)

Se da que la ecuación anterior es perpendicular al plano 2x + 3y – 2z = 5. Entonces, 

2a + 3b – 2c = 0 . . . . (2)

Se da que la ecuación anterior es perpendicular al plano x + 2y – 3z = 8. Entonces,

a + 2b – 3c = 0 . . . . (3)

Entonces, al resolver las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos

\begin{vmatrix}x - 1 & y + 1 & z - 2 \\ 2 & 3 & - 2 \\ 1 & 2 & - 3\end{vmatrix} = 0

-5 (x – 1) + 4 (y + 1) + 1 (z – 2) = 0

5x – 4y – z = 7

Por lo tanto, la ecuación del plano es 5x – 4y – z = 7

Pregunta 13. Encuentra la ecuación del plano que pasa por (a, b, c) y paralelo al plano  \vec{r} \cdot \left( \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \right)  = 2.

Solución:

La ecuación dada del plano es \vec{r} \cdot \left( \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \right) = 2

Entonces, al sustituir  \vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}  en la ecuación dada del plano, obtenemos

\left( x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} \right) . \left( \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \right) = 2

=> x + y + z – 2 = 0 . . . . (1)

La ecuación de un plano que es paralelo al plano (ecuación 1) es de la forma,

x + y + z = k . . . . (2)

Se da que la ecuación anterior del plano pasa por el punto (a, b, c). Asi que,

un + segundo + c = k

Al sustituir este valor de k en la ecuación (2), obtenemos

x + y + z = a + b + c

Por lo tanto, la ecuación del plano es

x + y + z = a + b + c 

Pregunta 14. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto (−1, 3, 2) y es perpendicular a cada uno de los planos x + 2y + 3z = 5 y 3x + 3y + z = 0.

Solución:

La ecuación de cualquier plano que pasa por el punto (-1, 3, 2) es,

una (x + 1) + segundo (y – 3) + c (z – 2) = 0 . . . . (1)

Se da que la ecuación anterior es perpendicular al plano x + 2y + 3z = 5. Entonces, 

un + 2b + 3c = 0 . . . . (2)

Se da que la ecuación anterior es perpendicular al plano 3x + 3y + z = 0. Entonces,

3a + 3b + c = 0 . . . . (3)

Al resolver las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos

\begin{vmatrix}x + 1 & y - 3 & z - 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 1\end{vmatrix} = 0

-7 (x + 1) + 8 (y – 3) – 3 (z – 2) = 0

7x – 8y + 3z + 25 = 0

Por lo tanto, la ecuación del plano es

7x – 8y + 3z + 25 = 0

Pregunta 15. Encuentra la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos (2, 1, −1) y (−1, 3, 4) y es perpendicular al plano x − 2y + 4z = 10. 

Solución:

La ecuación de cualquier plano que pasa por (2, 1, -1) es,

una (x – 2) + segundo (y – 1) + c (z + 1) = 0 . . . . (1)

Se da que la ecuación anterior pasa por (-1, 3, 4). Asi que,

a (-1 – 2) + b (3 – 1) + c (4 + 1) = 0

-3a + 2b + 5c . . . . (2)

Se da que la ecuación anterior es perpendicular al plano x – 2y + 4z = 10. Entonces,

a – 2b + 4c = 0 . . . . (3)

Al resolver las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos

\begin{vmatrix}x - 2 & y - 1 & z + 1 \\ - 3 & 2 & 5 \\ 1 & - 2 & 4\end{vmatrix} = 0

18 (x – 2) + 17 (y – 1) + 4 (z + 1) = 0

18x + 17y + 4z – 49 = 0

Por lo tanto, la ecuación del plano es

18x + 17y + 4z – 49 = 0

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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