Surd e índices en Matemáticas

Surds:
Sea x un número racional (es decir, puede expresarse en forma p/q donde q ≠ 0) y n es cualquier número entero positivo tal que x ^1/n = ⁿ √x es irracional (es decir, no puede expresarse en p /q forma donde q ≠ 0), entonces ese ⁿ √x se conoce como surd de n-ésimo orden.

Ejemplo –

√2, √29, etc.

√2 = 1.414213562…, que es no terminador y no repetitivo, por lo tanto √2 es un número irracional. Y √2= 2 ^1/2 , donde n=2, por lo tanto √2 es irracional. En palabras simples, surd es un número cuya potencia es una infracción y no se puede resolver por completo (es decir, no podemos obtener un número racional).

Índices :

• También se conoce como potencia o exponente.
• X ^p , donde x es una base y p es la potencia (o índice) de x. donde p, x puede ser cualquier número decimal.

Ejemplo: 
sea un número 2 ³ = 2 × 2 × 2 = 8, entonces 2 es la base y 3 son índices.

• Un exponente de un número representa cuántas veces se multiplica un número por sí mismo.
• Están acostumbrados a representar raíces, fracciones.

Reglas de los sarcasmos:
Cuando un sarcasmo se multiplica por un número racional, se lo conoce como un sarcasmo mixto.

Ejemplo: 
2√2, donde 2 es un número racional y √2 es irracional. Aquí x, y usados ​​en las reglas son números decimales como sigue.        

S. No.	Reglas para los surdos	Ejemplo
1.	norte √x = x 1/ n	√2 = 2 1/2
2.	norte √(x × y) = norte √x × norte                                    √x	√(2×3)= √2 × √3
3.	norte √(x ÷ y)= norte √x ÷ norte √y	3 √(5÷3) =   3 √5 ÷ 3 √3
4.	( norte √x ) norte = x	(√2) 2 = 2
5.	( norte √ x) metro =   norte √(x metro )	( 3 √27) 2  =   3 √(27 2 ) = 9
6.	metro √( norte √ x) = metro × norte √x	2 √( 3 √729)=   2×3 √729 = 6 √729 = 3

Reglas de índices:       

S. No.	Reglas para índices	Ejemplo
1.	X0                                              = 1	2 0 = 1
2	x metro × x norte = x metro + norte	2 2 × 2 3 = 2 5 = 32
3	x metro ÷ x norte  = x min	2 3 ÷ 2 2 = 2 3-2 = 2
4	(x metro ) norte = x metro × n	(2 3 ) 2 = 2 3×2 = 64
5	(x × y) norte = x norte × y norte	(2 × 3) 2 = 2 2 × 3 2 =36
6	(x ÷ y) norte = x norte ÷ y norte	(4 ÷ 2) 2 = 4 2 ÷ 2 2 = 4

Otras reglas:
algunas otras reglas se utilizan para resolver problemas de índices e insulsos de la siguiente manera.

// From 1 to 6 rules covered in table.
7) x m = x n then m=n and a≠ 0,1,-1.
8) x m = y m then 
   x = y if m is even 
    x= y, if m is odd

Problemas básicos basados ​​en surdos e índices:

Pregunta-1 : 
¿Cuál de los siguientes es un sarcasmo?

a)  2√36              b)  5√32      c)  6√729          d) 3√25

Solución – 
Una respuesta es una opción (d)

Explanation -
3√25= (25)1/3 = 2.92401773821... which is irrational So it is surd.

Pregunta-2:
Encuentra √√√3

a)  31/3  b) 31/4   c)   31/6   d)  31/8   

Solución – 
Una respuesta es una opción (d) 

Explanation -
((3 1/2)1/2) 1/2)  = 31/2 × 1/2 ×1/2 = 3 1/8 according to rule number 5 in indices.

Pregunta-3: 
Si (4/5) ³ (4/5) ^-6 = (4/5) ^2x-1 , el valor de x es

a) -2          b)2         c) -1          d)1

Solución: 
la respuesta es la opción (c)

Explanation - 
LHS = (4/5)3 (4/5)-6= (4/5)3-6 = (4/5)-3  
RHS = (4/5)2x-1
According to question LHS = RHS 
⇒ (4/5)-3 = (4/5)2x-1
⇒ 2x-1 = -3
⇒ 2x = -2
⇒  x = -1

Pregunta-4: 

34x+1 = 1/27, then x is

Solución –

34x+1 = (1/3)3
⇒34x+1 = 3-3
⇒4x+1 = -3
⇒4x= -4  
⇒x = -1

Pregunta-5: 
Encuentra el más pequeño entre 2 ^1/12, 3 ^1/72 , 4 ^1/24 , 6 ^1/36 .

Solución – 
La respuesta es 3 ^1/72

Explicación: 
como los exponentes de todos los números son infracciones, multiplique cada exponente por MCM de todos los exponentes. El MCM de todos los números es 72.

2(1/12 × 72) = 26 = 64
3(1/72 ×72) = 3
4(1/24 ×72) = 43 = 64
6 (1/36 ×72) = 62 = 36

Pregunta-6:
El mayor entre 2 ^400, 3 ³⁰⁰ , 5 ²⁰⁰ , 6 ²⁰⁰ .

a) 2400   b)3300    c)5200      d)6200  

Solución – 
Una respuesta es una opción (d)

Explicación:
como la potencia de cada número es grande y es muy difícil compararlos, dividiremos cada exponente por un factor común (es decir, tomaremos el HCF de cada exponente).  

The HCF of all exponents is 100.
2400/100 = 24 = 8.
3300/100 = 33 = 27  
5200/100 = 52 = 25
6200/100= 62 =  36
So 6200 is largest among all.